Hướng dẫn phương pháp giải các bài toán tích phân lớp 12

1

Chào các em ! Chuyên ñề ñầu tiên thầy và các em sẽ ñi tìm hiểu là bài toán TÍCH PHÂN. Chúng ta có trong tay 2 công cụ chính ñể giải quyết là ðỔI BIẾN và TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN và một vài kĩ thuật ñể làm cho 2 công cụ trên phát huy tác dụng như: Tách tích phân (dùng phương pháp ñồng nhất hệ số, thêm bớt…), kĩ thuật nhân, chia dưới dấu tích phân, dùng các công thức ñể biến ñổi (công thức lượng giác, hằng ñẳng thức…), sử dụng tích phân liên kết ( quan sát ñể tìm tích phân liên kết, sử dụng cận ñể ñổi biến, sử dụng các ñẳng thức và tính chẵn lẻ của hàm số…)…Vì vậy: Khi ñứng trước một bài toán tích phân các em sẽ có những hướng ñi sau: TH1: Nếu dưới dấu tích phân có căn : +) Hướng tư duy 1: ðặt t bằng căn (ñiều này ñã ñúng cho tất cả các ñề thi ðại Học – Cao ðẳng từ 2002 – 2012). Nếu không ổn hãy chuyển sang:

+) Hướng tư duy thứ 2: Với tích phân 2 ( ax )

b

a I f bx c dx = + + ∫ mà 2 ax bx c + + ta biến ñổi về dạng:

*) 2 2 m x − thì ñặt sin x m t = ( cos x m t = ) *) 2 2 x m − thì ñặt cos

m x t = ( sin

m x t = )

*) 2 2 x m + thì ñặt tan x m t = ( cot x m t = ) *) 2 x x − thì ñặt 2 sin x t = ( 2 cos x t = )

Với tích phân

b

a

m x I f dx m x

  ± =       ∫ m thì ñặt cos 2 x m t = .

CHÚ Ý: Với tích phân có dạng

2 dx

x k

β

α ± ∫ thì ta có thể không dùng tới phương pháp trên. Cụ thể ta biến ñổi:

2 2 2

2 2 2 2 ( ) ( ) ln( ) ... ( ) ( )

dx x x k dx d x x k x x k x k x x k x k x x k

β β β

α α α

β

α + ± + ± = = = + ± = ± + ± ± + ± ∫ ∫ ∫

Nếu vẫn chưa ổn hãy chuyển sang : +) Hướng tư duy thứ 3: Nhân với lượng liên hợp tương ứng rồi quay về 2 hướng tư duy ñầu.

TH2 : Nếu dưới dấu tích phân có hàm lượng giác và hàm mũ có dạng sin u và u e mà u ax b ≠ + ( nghĩa là u không là hàm bậc nhất hoặc bậc không ) thì ñiều ñầu tiên là ñổi biến t u = . Sau ñó quay về các TH1 hoặc TH3. TH3: Nếu dưới dấu tích phân xuất hiện hai trong bốn hàm: log, ña thức (ở ñây kể cả phân thức), lượng giác và mũ thì: +) Hướng tư duy 1: Sử dụng tích phân từng phần theo thứ tự ưu tiên “u dv” là : “log ña thức lượng giác mũ”

(nghĩa là anh nào ñứng trước trong thứ tự thầy nêu thì sẽ ñược ñặt là u còn anh ñứng sau là dv:

b b b

a a a udv uv vdu = − ∫ ∫ )

( Các em có thể có cách nhớ “hài hước” theo thứ tự ưu tiên “u dv” là: “nhất log, nhì ña, tam lượng, tứ mũ” ). CHÚ Ý: **) Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần thì số lần thực hiện phụ thuộc vào bậc của hàm logarit và ña thức.

Cụ thể: *) Nếu trong biểu thức tích phân có log ( ) n a f x (hoặc ln ( ) n f x )⇒ tích phân từng phần n lần.

*) Nếu trong biểu thức tích phân có ña thức bậc n: 1 1 0 ( ) ... n n n n f x a x a x a − − = + + + (không có hàm logarit)

⇒ tích phân từng phần n lần.

**) Nếu I = ( ) ax b f x e dx

β

α

+ ∫ mà ( ) f x có bậc n ( ) 2 n ≥ (theo CHÚ Ý trên ta phải tính tích phân từng phần n lần)

song trong trường hợp này chúng ta có thể có cách “khắc phục” (không phải tính tích phân từng phần) bằng cách

tách ghép và sử dụng công thức: [ ] ( ) '( ) ( ) x x f x f x e dx f x e C + = + ∫ (trong bài các em phải chứng minh).

**) Khi gặp lượng giác và mũ ta có thể ñặt “u dv” theo thứ tự “lượng giác mũ” hoặc ngược lại ñều ñược và phải sử dụng hai lần tích phân từng phần.Cả hai lần tích phân từng phần trong trường hợp này phải thống nhất theo cùng thứ tự. Nếu không sẽ xảy ra hiện tượng I = I. Nếu vấn chưa ổn thì chuyển sang: