Cách tính nguyên hàm của hàm phân thức và kĩ thuật nhảy tầng lầu của Trần Phương

http://www.ebook.edu.vn

Một vài nét về kĩ thuật nhảy tầng lầu − Trần Phương

11

MỘT VÀI NÉT VỀ KĨ THUẬT NHẢY TÂNG LẦU

Những bài toán dưới đây được trích từ kĩ thuật nhảy tầng lầu của tích phân.

Kĩ thuật này là tách một tích phân có khoảng cách giữa bậc của tử và mẫu rất

lớn thành 2 tích phân có khoảng cách giữa 2 bậc nhỏ hơn được mô tả theo sơ đồ:

( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ⎡ ⎤ + − − + − = = − ⎢ ⎥ + + + + ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ n n n n dx 1 u x b u x b 1 u x b u x b dx dx dx 2b 2b x a x a x a x a

Một số học sinh và giáo viên khi chưa hiểu biết đầy đủ thì cho rằng tên

gọi kĩ thuật "nhảy tầng lầu" chỉ là câu chữ để tạo cảm xúc khi giảng bài

nhưng họ chưa biết điều quan trọng nhất của kĩ thuật chính là nghệ thuật

chọn hàm u(x). Ví dụ về nguyên tắc chúng ta có thể tính

+ ∫ 8 dx x 1 bằng

phương pháp hệ số bất định có lời giải khoảng 2 trang giấy, nhưng nếu giải nó

bởi 5 biến đổi dấu bằng với khoảng 3 dòng thì lại là một đẳng cấp khác…

VD 1: ( ) ( ) ⎛ ⎞ + − − + − = = − ⎜ ⎟ + + + ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ∫

2 2 2 2

4 4 4 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 dx dx dx 2 2 x 1 x 1 x 1 1 4 dx I = x + 1

( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2

1 1 1 1 d x 1 1 d x 1 1 x x x x dx dx 1 1 2 2 1 1 x x x 2 x 2 x x x x

1 1 x 1 1 x x 2 1 arctg ln c 2 2 x 2 2 2 x x 2 1

⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + − − ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ = ⎜ − ⎟= − ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ + + − + ⎜ ⎟ + − ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ − − + = − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

VD 2:

( )( )

( )

( ) ( ) ( )

− = =

⎡ ⎤ − + + − − + − + ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ 2 2 dx d x 1

x 1 x x 1 x 1 x 1 3 x 1 3 2 3 dx I = x - 1

( )

( ) ( ) ( )

( ) 2 2

2 2 2 dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt dt 3 3 t t 3t 3 t t 3t 3 t t 3t 3

⎛ ⎞ + + − + + = = = − ⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ + + + + ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )

( )

2

2 2 2 2

2 2

2 2

1 dt 1 2t 3 dt 3 dt 1 dt 1 d t 3t 3 3 dt 3 t 2 2 3 t 2 2 3 t 3t 3 t 3t 3 t 3t 3 3 t 2 4

1 1 t 2t 3 1 x 2x 1 1 2x 1 ln 3arctg c ln arctg c 3 2 6 t 3t 3 x x 1 3 2 3 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + + = − − = − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + + + + + ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ + − + + = − + = − + ⎜ ⎟ + + + + ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

http://www.ebook.edu.vn

Tuyển tập các chuyên đề và kĩ thuật tính tích phân − Trần Phương

12

VD 3:

( )( )

( )

( ) ( ) ( )

+ = =

⎡ ⎤ + − + + + − + + ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ 2 2 dx d x 1

x 1 x x 1 x 1 x 1 3 x 1 3 3 3 dx I = x + 1

( )

( ) ( ) ( )

( ) 2 2

2 2 2 dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt dt 3 3 t t 3t 3 t t 3t 3 t t 3t 3

⎛ ⎞ − + − − − = = = − ⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠ − + − + ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )

( )

2

2 2 2 2 1 dt 1 2t 3 dt 3 dt 1 dt 1 d t 3t 3 3 dt 3 t 2 2 3 t 2 2 3 t 3t 3 t 3t 3 t 3t 3 3 t 2 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − + = − + = − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − + − + − + ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2

2 1 1 t 2t 3 ln 3arctg c 3 2 t 3t 3 3

⎛ ⎞ − = + + ⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠

2

2 1 x 2x 1 1 2x 1 ln arctg c 6 x x 1 2 3 3

+ + − = + + − +

VD 4: ( )( ) ( ) ⎡ ⎤ = = − = − ⎢ ⎥ − + ⎣ ⎦ − + ∫ ∫ ∫ ∫ 2 3 3 3 3 3 dx 1 dx dx 1 I I 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 4 6 dx I = x - 1

( )( ) ( )( )

2 2

2 2

2 2

2 2

1 1 x 2x 1 1 2x 1 1 x 2x 1 1 2x 1 ln arctg ln arctg 2 6 6 x x 1 x x 1 2 3 3 2 3 3

1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1 ln arctg arctg c 12 4 3 3 3 x 2x 1 x x 1

⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − + + + + − = − − + ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + + − + ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

− + − + + − ⎛ ⎞ = − + + ⎜ ⎟ + + + + ⎝ ⎠

VD 5: ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) + − − − + + − + − = = + + − + ∫ ∫ ∫

4 4 4 2 2 2 2

6 2 4 2 1 x 1 x 1 1 x x 1 x x 1 x 1 dx dx 2 2 x 1 x 1 x x 1 5 6 I dx = x +1

( ) ( ) 2 2 3 2

2 6 4 2 2 6 2 2

1 1 dx 1 dx x dx x 1 dx 1 dx 1 d x x 1 2 2 3 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x

⎡ ⎤ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ − ⎝ ⎠ = + − = + − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎛ ⎞ + + − + + + ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ + − ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )

( ) ( )

( ) 3 3 2

2 2 2

1 d x 1 arctg x 3arctgx arctg x 1 x x 3 1 x arctgx ln c 2 3 6 4 3 x x 3 1 1 x 3 x

⎡ ⎤ + + − + ⎢ ⎥ + − = − + ⎢ ⎥ + + + − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫

VD 6: ( )

( )

( )

( )( ) [ ] = = = + − − ∫ ∫ ∫ ∫ 4 2 2 2 cos x dx d sin x d sin x

cos x 1 sin x 1 sin x 1 sin x

6 3 dx I = cos x

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 1 1 sin x 1 sin x 1 1 1 d sin x d sin x 4 1 sin x 1 sin x 4 1 sin x 1 sin x ⎡ ⎤ + + − ⎛ ⎞ = = + ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ + − − + ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ∫ ∫

( ) ( )

( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 sin x 1 1 sin x d sin x ln …