Tuyển tập các bài toán có đáp án chi tiết về cực trị hàm số lớp 12

GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN

SAI L M TRONG C C TR I S

A1 - D NG SAI L M TH NH T Trong bài làm có sử dụng nhiều BĐT, nh−ng khi tìm điều kiện để biểu thức cần tìm đạt giá trị nhỏ nhất Trong bài làm có sử dụng nhiều BĐT, nh−ng khi tìm điều kiện để biểu thức cần tìm đạt giá trị nhỏ nhất Trong bài làm có sử dụng nhiều BĐT, nh−ng khi tìm điều kiện để biểu thức cần tìm đạt giá trị nhỏ nhất Trong bài làm có sử dụng nhiều BĐT, nh−ng khi tìm điều kiện để biểu thức cần tìm đạt giá trị nhỏ nhất

(hoặc lớn nhất) thì các dấu bằng không đồng thời xảy ra đã kết luận kết luận biểu thức đạt giá trị (hoặc lớn nhất) thì các dấu bằng không đồng thời xảy ra đã kết luận kết luận biểu thức đạt giá trị (hoặc lớn nhất) thì các dấu bằng không đồng thời xảy ra đã kết luận kết luận biểu thức đạt giá trị (hoặc lớn nhất) thì các dấu bằng không đồng thời xảy ra đã kết luận kết luận biểu thức đạt giá trị nhỏ nhỏ nhỏ nhỏ

nhất (hoặc lớn nhất) hoặc biểu thức không đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) nhất (hoặc lớn nhất) hoặc biểu thức không đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất)

Bài 1: Bài 1: Bài 1: Bài 1: Cho x, y là hai số d−ơng thoả mãn 1 1. x y + ≤ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

32. 2007. . x y M y x = +

Lời giải ‘‘có vấn ñề’’

Tõ x, y > 0 ta cã 2 x y y x + ≥ .

Từ x, y > 0 và 1 1 x y + ≤ ta có

2 1 1 1 4 . 4. y x x y y x   ≥ + ≥ ⇒ ≥    

Do vËy 32. 2007. 32. 1975. 32.2 1975.4 7964 x y x y y M y x y x x   = + = + + ≥ + =     .

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y .

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 7964, giá trị này đạt đ−ợc khi x = y.

Bình luận

Nh−ng!... x = y thì M = 2039. Vậy sai lầm ë đâu?

Giải ñáp

Lời giải sai ë chỗ với x, y > 0 thì 2 x y y x + ≥ .

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y, còn 4, y x ≥ Dấu “=” xảy ra ⇔ y = 4x.

Mặt khác có thể thấy x = y thì mâu thuẫn với giả thiết 1 1. x y + ≤

Nh− vậy nguyên nhân của sai lầm trong lời giải trên là trong một bài toán mà sử dụng nhiều bất đẳng

thức để tìm cực trị nh−ng các dấu “=” không đồng thời xảy ra .

Lời giải ñúng

GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN

Từ giả thiết ta có

2 1 1 1 4 . 4. y x x y y x   ≥ + ≥ ⇒ ≥    

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có

32. 2007. 32. 2. 2005. 2. 32. .2. 2005.4 8036 x y x y y x y M y x y x x y x   = + = + + ≥ + =     .

Dấu “=” xảy ra ⇔ 1 ; 2 2 x y = = .

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 8036, giá trị này đạt đ−ợc khi 1 ; 2 2 x y = = .

Bài 2: Bài 2: Bài 2: Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 3 A x y = + biết 2 2 2 3 5 x y + ≤ .

Lời giải ‘‘có vấn ñề’’

Gäi 2 2 2 3 , B x y = + ta cã 5. B ≤

XÐt 2 2 2 3 2 3 A B x y x y + = + + + ( ) ( ) 2 2 2 3 x x y y = + + +

2 2 1 1 5 5 2 3 (1) 2 2 4 4 x y     = + + + − ≥−        

Ta lại có 5 B ≤ nên 5 B − ≥− (2)

Cộng (1) với (2) ta đ−ợc 25

4 A ≥− .

Min 25 1 . 4 2 A x y = − ⇔ = = −

Bình luận

Nh−ng với 1 5 2 2 x y A = = − ⇒ = − , vậy sai lầm ë đâu?

Giải ñáp

Sai lầm ë chỗ với 1 2 x y = = − , chỉ xảy ra dấu “=” ë (1), còn dấu “=” ë (2) không xảy ra.

Thật vậy với 1 2 x y = = − thì 5 5 4 B = ≠. Do đó 5 B − ≠−.

Lời giải ñúng

áp dụng BĐT Bunhiacốpxki ta có:

( ) ( )( )

2 2 2 2 2. 2 3. 3 2 3 2 3 5.5 25 A x x x y = + ≤ + + ≤ =

2 2 3 25 2 3 x y A x y = ⇔ = ⇔ =

Do 2 25 A ≤ nên 5 5 A −≤ ≤.