Phương pháp giải các bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số của nguyễn phú khánh phần 1

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

-194-

Bài 8 :SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG CONG Bài toán 1 : Hai đường cong ( ) ( ) : C y f x = và ( ) ( ) ' : C y g x = tiếp xúc nhau khi và chỉ khi

hệ phương trình sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ' '

f x g x

f x g x

 =  = 

có nghiệm.

Ví dụ 1 : Tìm tham số thực m để đường thẳng ( ) ( ) : 3 d y m x = − tiếp xúc

với đồ thị ( )

3 1 : 3 3 C y x x = − + .

Giải :

( ) d tiếp xúc với ( ) C khi hệ sau : ( ) ( )

3

2

1 3 3 * 3 3

x x m x

x m

− + = −  − + = 

có nghiệm.

( )

3 2 2 2 2

3 3 6 2 9 27 0 2 3 9 0 * 3 3 3 3 2 4

x x m x x x x m x x m m x

 =  = ⇒ = −   − + =     − − = ⇔ ⇔ ⇔    = − + = − ⇒ =     = − +  

Ví dụ 2 : Tìm trên trục hoành những điểm mà từ đó có thể kẻ đến đồ thị của

hàm số :

2

1 x y x = − hai tiếp tuyến tạo với nhau 1 góc 0 45 .

Giải : Gọi ( ) 0;0 M Ox M x ∈ ⇒ , đường thẳng đi qua M có hệ số góc là k , phương

trình có dạng : ( ) ( ) 0 : d y k x x = − .

( ) d là tiếp tuyến của đồ thị khi hệ sau có nghiệm :

( )

( )

2

0

2

2

1 2

1

x k x x x x x k x

 = −  −  − =   − 

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

-195-

( )

( ) ( )

2 2

0 0 0 2 2 1 2 0 1 1

x x x x x x x x x x x

−   = − ⇔ + − =   − −

0 0 0

0

2 , 1 1

x

x x x x

 =  ⇔ = ≠−  + 

• ( )

2

2 2 0 0 1

x x x k x

− = ⇒ = = − .

• ( )

0 0

2 0 0

2 4

1 1

x x x k x x

− = ⇒ = + +

• Tiếp tuyến qua M tạo với đồ thị của hàm số :

2

1 x y x = − hai tiếp tuyến tạo

với nhau 1 góc 0 45 khi và chỉ khi

( )

0 1 2 0 0 2 1 2 0

4 tan 45 1 3 2 2 1 1

k k x x k k x

− = ⇒ = ⇒ = ± + + .

Vậy ( ) ( ) 3 2 2;0 , 3 2 2;0 M − +

Ví dụ 3 :Tìm tất cả các điểm trên trục hoành những điểm M mà qua đó vẽ được đúng 3 tiếp tuyến đến đồ thị ( )

3 2 : 3 C y x x = + mà trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau .

Giải :

Gọi ( ) ;0 M a Ox ∈ , đường thẳng ( ) t đi qua M và có hệ số góc

( ) ( ) : k t y k x a ⇒ = − .

( ) t tiếp xúc với ( ) C khi hệ sau có nghiệm :

2

2

3 ( ) (1)

3 6 (2)

x x k x a

x x k

 + = −  + = 

3

Từ (1),(2) suy ra : 2 2 2 3 3 6 ( ) 2 3( 1) 6 0 x x x x x a x a x ax + = + − ⇔ + − − = 3 3

0 2 3( 1) 6 0 2 3( 1) 6 0 (3)

x x x a x a x a x a

=     ⇔ − − − = ⇔   − − − = 

2 2

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

-196-

0 0 1 x k • = ⇒ = ⇒ tiếp tuyến. Qua M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đến đồ thị ( ) C mà trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau . Khi đó (3)có 2 nghiệm phân biệt 1 2 , 0 x x ≠ và 1 2 1 k k = −

( )

( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2

2 2 2

0 0

0 9 1 48 0

3 6 3 6 1 9 18 36 1

a a

a a

x x x x x x x x x x x x

  ≠  ≠    ⇔ ∆> ⇔ − + >        + + = −   + + + = −        

( )

1 2 1 2

2

1 3 3 81 81 1 108 1 0

3( -1) vì = - 3 ; = 2

a a

a a a a

a x x a x x

 < − ∨ > − ≠   ⇔ − − − + =     +     

vaø a 0

1 1 3 3 27 27 1 0

a a a a a

 < − ∨ > − ≠  ⇔ ⇔ =  − + = 

vaø 0

Vậy 1 ,0 27 M Ox  ∈     thỏa bài toán .

Bài toán 2 :

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) ( ) : C y f x = tại điểm ( ) ( ) 0 0 ; M x f x có

dạng : ( )( ) ( ) 0 0 0 ' y f x x x f x = − + .

Ví dụ 1 :Tìm tọa độ tiếp điểm của đồ thị 4 ( ) : 1 x C y x

− = − với tiếp tuyến ( )t ,

biết rằng tiếp tuyến ( )t tạo với đường thẳng ( ) : 2 2010 d y x = − + 1 góc 0 45 .

Giải : { } \ 1 D • =