Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số lớp 12

WWW.VNMATH.COM

1

TAM GIÁC TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ DẠNG 1: Ba điểm cực trị tạo thành tam giác. Ví dụ 1. ( DB-2004 ). Cho hàm số   4 2 2 2 1 m y x m x C    (1) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=1 2. Tìm m dể hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân . GIẢI 1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

2. Ta có :   3 2 2 2 2 2 0 ' 4 4 4 0 0 (*) x y x m x x x m m x m

            

- Với điều kiện (*) thì hàm số (1) có ba điểm cực trị . Gọi ba điểm cực trị là :       4 4 0;1 ; ;1 ; ;1 A B m m C m m    . Do đó nếu ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân , thì đỉnh sẽ là A . - Do tính chất của hàm số trùng phương , tam giác ABC đã là tam giác cân rồi , cho nên để thỏa mãn điều kiện tam giác là vuông , thì AB vuông góc với AC.       4 4 ; ; ; ; 2 ;0 AB m m AC m m BC m         

Tam giác ABC vuông khi :   2 2 2 2 2 8 2 8 4 BC AB AC m m m m m       

  2 4 4 2 1 0; 1 1 m m m m       Vậy với m = -1 và m = 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán . * Ta còn có cách khác - Tam giác ABC là tam giác vuông khi trung điểm I của BC : AI = IB , với   4 0; I m  

    4 2 8 2 2 2 2 8 2 0; ; ;0 IA m IA m IB m IB m IA IB m m              . Hay

4 1 1 m m   Ví dụ 2 : Cho hàm số 1 2 2 4    mx x y (1) 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1 2.Tìm các giá trị của tham số m để đồ thi hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1. GIẢI. 1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C). 2. Ta có mx x y 4 4 ' 3  

 





   m x

x y 2 0 0 '

- Hàm số có 3 cực trị y’ đổi dấu 3 lần phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt m > 0 Khi m > 0 , đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị là

)1 ; 0 ( , ) 1 ; ( , ) 1 ; ( 2 2 C m m B m m A    - Gọi I là tâm và R là bán kính của đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C.

WWW.VNMATH.COM

2

Vì 2 điểm A, B đối xứng qua trục tung nên I nằm trên trục tung.

Đặt I(0 ; y0). Ta có : IC = R 

 

     2

0 1 ) 1(

0

0 2 0 y

y y

) 0 ; 0 ( O I   hoặc ) 2 ; 0 (I * Với ) 0 ; 0 ( O I 

IA = R

      





  

  

 

        

2 5 1 2 5 1

1 0

0 2 1 ) 1( 2 4 2 2

m

m

m m

m m m m m

So sánh điều kiện m > 0, ta được m = 1 và m = 2 5 1 

* Với I(0 ; 2) IA = R 0 2 1 ) 1 ( 2 4 2 2          m m m m m (*) Phương trình (*) vô nghiệm khi m > 0

Vậy bài toán thỏa mãn khi m = 1 và m = 2 5 1 

BÀI TẬP Câu1. Cho hàm số 4 2 2 1 y x mx m     (1) , với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1 m . 2. Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 2 . Câu 2. Cho hàm số 4 2 2 y x 2m x 1    (1), trong đó m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 2. Tìm giá trị của tham số m để hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 32. Câu 3. Cho hàm số 4 2 2 2 y x mx m m     (1) , với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 2 m . 2. Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có góc bằng 1200. Câu 4. Cho hàm số y = x4 – 2m2x2 + 1, (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C và diện tích của tam giác ABC bằng 32. Câu 5. Cho hàm số y = x4 – 2m2x2 + 1 (1) 1. Khảo sát hàm số (1) khi m = 1 2. Tìm m để đồ thị h/s (1) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân

Câu 6. Cho hàm số 4 2 y x 2x 2 m     có đồ thị (Cm) với m là tham số . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).của hàm số khi m = 0 .