Các bài toán liên quan khảo sát hàm số của nguyễn vũ minh

Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số

http://www.xuctu.com quoctuansp@gmail.com 1

CHƯƠNG I :CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS @@@@@@@ VẤN ĐỀ 1:TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ Cho hàm số ( ) y f x = ( C ) .Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) ta có 2 cách : Cách 1 : dùng ý nghĩa hình học của đạo hàm Định lý : Đạo hàm của hàm số ( ) y f x = tại điểm 0x là hệ số góc của tiếp tuyến

với đồ thị tại điểm M ( ; ( )) o o o x y f x = : '( ) o k f x = Dạng Tiếp Tuyến (yêu cầu bài toán) Phương trình tiếp tuyến ( cách tìm )

Tiếp tuyến tại ( ; ) ( ) o o M x y C ∈ '( ).( ) o o o y f x x x y = − + (1) '( ) o k f x = :hệ số góc Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước _Gọi ( ; ) ( ) o o M x y C ∈

_Giải pt : '( ) o o o f x k x y = ⇒ ⇒ _Áp Dụng (1)

Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) cho trước : d y k x b = + _Gọi ( ; ) ( ) o o M x y C ∈

_Giải pt : '( ) o d o o f x k x y = ⇒ ⇒ _Áp Dụng (1)

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) trước : d y k x b = + _Gọi ( ; ) ( ) o o M x y C ∈

_Giải pt : 1 '( ) o o o d f x x y k = − ⇒ ⇒

_Áp Dụng (1) Tiếp tuyến đi qua điểm ( ; ) ( ) A A A x y C ∉ cho trước _Gọi ( ; ) ( ) o o M x y C ∈ ,tt tại M là ( ) ∆ : (1) _( ) ∆qua A: thay tọa độ A vào (1) o o x y ⇒ ⇒ PTTT ⇒

Cách 2 : dùng đk tiếp xúc :hai đths ( ) ( ) y f x y g x =   =  tiếp xúc với nhau

( ) ( )

'( ) '( )

f x g x

f x g x

=  ⇔ = 

Dạng Tiếp Tuyến (yêu cầu bài toán) Phương trình tiếp tuyến ( cách tìm )

Tiếp tuyến tại ( ; ) ( ) o o M x y C ∈ '( ).( ) o o o y f x x x y = − + (1)

'( ) o k f x = :hệ số góc Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước _PTTT có dạng (*) y kx C = +

_ĐKTX ( ) '( ) f x kx C f x k = +   = 

_Giải hệ C ⇒

Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số

http://www.xuctu.com quoctuansp@gmail.com 2

Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) ch trước : y ax b = + _PTTT có dạng (*) y ax C = +

_ĐKTX ( ) '( ) f x ax C f x a = +   = 

_Giải hệ C ⇒ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) ch trước : y ax b = + _PTTT có dạng 1 (*) y x C a = − +

_ĐKTX

1 ( )

1 '( )

f x x C a

f x a

 = − +   = − 

_Giải hệ C ⇒ Tiếp tuyến đi qua điểm

( ; ) ( ) A A A x y C ∉ cho trước _PTTT có dạng: ( ) A A y k x x y = − +

_ĐK TX ( ) ( )

'( )

A A f x k x x y

f x k

= − +   = 

_Thế pt dưới vào trên x k ⇒ ⇒ ứng với 1 giá trị x sẽ có 1 giá trị k

Lưu ý : hai đt :

1 1

2 2

y k x c

y k x c

= +   = +  vuông góc với nhau 1 2 . 1 k k ⇔ = − ,song song 1 2 k k ⇔ =

Với 1 2 , k k là hệ số góc Bài tập có HD

Bài toán 1: Cho hàm số (C) 2 2

4 3 2

− + − = x

x x y . M là một điểm tuý ý trên (C) Tiếp

tuyến của (C) tại M cắt đường tiệm cận xiên và đứng tại A và B . Chứng tỏ rằg M là trung điểm của AB, và tam giác IAB (I là giao điểm của hai đường tiệm cận) có diện tích không phụ thuộc vào M

Giaûi: ( ) (C) 1 x ≠ − + − = − + − = 1 1 1 2 2 2

4 3 2

x x x

x x y

( ) ( )⇒ ∈C b a M ; tieáp tuyeán taïi M laø (d) ( )( ) b a x y y a + − ′ =

    − + − = 1 1 1 2 a a b

( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 2 1

2 − + − + − 

 

 − − = ⇔ a a a x a y

Tiệm cận đứng của (C) là (d1) : x = 1 ( ) ( )     − + − = ∩ ⇒ 1 2 2 1 ;1 1 a A d d

Tiệm cận xiên của (C) là (d2) : ( ) ( )     − − = ∩ ⇒ − = 2 3 ;1 2 1 2 2 a a B d d x y