87 Bài Toán thực tế có lời giải chi tiết - Nguyễn Tiến Minh

Nguyễn Tiến Minh

Lý thuyết lãi đơn, lãi kép

1. Lãi đơn Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra.

Công thức tính lãi đơn:

( ) T M r n = + 1 .

Trong đó:

T: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn;

M: Tiền gửi ban đầu;

n: Số kỳ hạn tính lãi;

r: Lãi suất định kỳ, tính theo %

2. Lãi kép

Là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do tiền gốc đó

sinh ra thay đổi theo từng định kỳ.

a. Lãi kép, gửi một lần

( )

n T M r = + 1

Trong đó:

T: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn;

M: Tiền gửi ban đầu;

n: Số kỳ hạn tính lãi;

r: Lãi suất định kỳ, tính theo %

b. Lãi kép, gửi định kỳ.

Trường hợp 1: Tiền được gửi vào cuối mỗi tháng.

+ Cuối tháng thứ nhất cũng là lúc người đó bắt đầu gửi tiền: 1 T M =

+ Cuối tháng thứ 2, người đó có số tiền là:

Nguyễn Tiến Minh

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1

M M M r M M r r r r r

      + + = + + = + − = + −             + −  

+ Cuối tháng thứ 3: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 . 1 1 M M M r r r r r r r     + − + + = + −        

+ Cuối tháng thứ n, người đó có số tiền là::

( ) n

n

M T r r

  = + −     1 1

Tiếp cận khác về công thức:

+ Tiền gửi tháng thứ nhất sau 1 n− kỳ hạn ( 1 n− tháng) thành: ( )

1 1

n M r

− +

+ Tiền gửi tháng thứ nhất sau 2 n− kỳ hạn ( 2 n− tháng) thành: ( )

2 1 n M r

− +

+ Tiền gửi tháng cuối cùng là: ( )

0 1 M r +

Vậy áp dụng công thức tổng cấp số nhân, số tiền cuối tháng n là:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1

n n n n r r M r M r M r M M r r

− − + − + − + + + + + + = = + −

Ta cũng được công thức trên:

( ) 1 1 n

n

M T r r

  = + −    

Trường hợp 2: Tiền gửi vào đầu mỗi tháng.

( ) ( ) n

n

M T r r r

  = + − +     1 1 1

Các bài toán ứng dụng lãi đơn, lãi kép:

Bài toán 1. Ông Diêu gửi 150 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1

Nguyễn Tiến Minh

năm với lãi suất x %; %   ∈  5 7 năm. Sau 4 năm ông ta rút tất cả tiền ra và vay thêm ngân

hàng 1060

75 triệu đồng cũng với lãi suất x% . Ngân hàng cần lấy lãi suất x bao nhiêu để 3

năm nữa sau khi trả ngân hàng, số tiền của ông Diêu còn lại nhỏ nhất ( giả sử lãi suất

không thay đổi ).

A. x % = 6 . B x % = 7 .

C. x % = 5 . D. x . % = 6 5 .

Hướng dẫn.

Số tiền của ông sau 4 năm là ( ) x +

4 150 1 .

Số tiền của ông nợ ngân hàng sau 3 năm từ khi rút tiền là: ( ) x +

3 1060 1 75 .

Sau khi trả ngân hàng số tiền ông còn lại ( ) ( ) ( ) f x x x = + − + 4 3 1060 150 1 1 75 .

Ta có ( ) ( ) ( ) f ' x x x x % = + − + = ⇔ = 3 2 106 4 1 1 0 6 25 . Vẽ bảng biến thiên thấy ( ) f x nhỏ nhất

tại x % = 6 .

Chọn A.

Bài toán 2. Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12% trên năm.

Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách sau: sau đúng một tháng kể từ ngày vay,

ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng số tiền hoàn

nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng ba tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo

cách đó, số tiền m mà ông A phải trả cho ngân hàng theo cách đó là bao nhiêu? Biết

rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.

A. ( ) . , m =

3 100 1 01

3 (triệu đồng) B. ( )

( )

( ) , m TD , = −

3

3 1 01

1 01 1

C. ( ) . , m TD = 100 1 03

3 D. ( )

( )

( ) . , m TD , = −

3

3 120 1 12

1 12 1