tài liệu nguyên hàm

Trang 1/34

CHỦ ĐỀ 1. NGUYÊN HÀM KIẾN THỨC CƠ BẢN I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT 1. Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số ( ) f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số ( ) F x

được gọi là nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K nếu ( ) ( ) ' F x f x = với mọi x K ∈ .

Định lí: 1) Nếu ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số

( ) ( ) G x F x C = + cũng là một nguyên hàm của ( ) f x trên K .

2) Nếu ( ) F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên K thì mọi nguyên hàm của ( ) f x trên K đều

có dạng ( ) F x C + , với C là một hằng số.

Do đó ( ) , F x C C + ∈ là họ tất cả các nguyên hàm của ( ) f x trên K . Ký hiệu ( ) ( ) f x dx F x C = + ∫ .

2. Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1: ( ) ( ) ( ) f x dx f x ′ = ∫ và ( ) ( ) ' f x dx f x C = + ∫

Tính chất 2: ( ) ( ) kf x dx k f x dx = ∫ ∫ với k là hằng số khác 0 .

Tính chất 3: ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx ± = ±     ∫ ∫ ∫

3. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số ( ) f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .

4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp ( ) ( ) u u x =

dx x C = + ∫ du u C = + ∫

( ) 1 1 1 1 x dx x C α α+ = + α ≠− α + ∫ ( ) 1 1 1 1 u du u C α α+ = + α ≠− α + ∫

1 ln dx x C x = + ∫ 1 ln du u C u = + ∫

x x e dx e C = + ∫ u u e du e C = + ∫

( ) 0, 1 ln

x x a a dx C a a a = + > ≠ ∫ ( ) 0, 1 ln

u u a a du C a a a = + > ≠ ∫

sin cos xdx x C = − + ∫ sin cos udu u C = − + ∫

cos sin xdx x C = + ∫ cos sin udu u C = + ∫

2 1 tan cos dx x C x = + ∫ 2 1 tan cos du u C u = + ∫

2 1 cot sin dx x C x = − + ∫ 2 1 cot sin du u C u = − + ∫

II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1. Phương pháp đổi biến số Định lí 1: Nếu ( ) ( ) f u du F u C = + ∫ và ( ) u u x = là hàm số có đạo hàm liên tục thì

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' f u x u x dx F u x C = + ∫

Hệ quả: Nếu ( ) 0 u ax b a = + ≠ thì ta có ( ) ( ) 1 f ax b dx F ax b C a + = + + ∫

2. Phương pháp nguyên hàm từng phần Định lí 2: Nếu hai hàm số ( ) u u x = và ( ) v v x = có đạo hàm liên tục trên K thì

Trang 2/34

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' u x v x dx u x v x u x v x dx = − ∫ ∫

Hay

udv uv vdu = − ∫ ∫

A. KỸ NĂNG CƠ BẢN - Tìm nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi trực tiếp. - Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số. - Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần. B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Nguyên hàm của hàm số ( ) 3 3 2 f x x x = + + là hàm số nào trong các hàm số sau?

A. ( )

4 2 3 2 4 2 x x F x x C = + + + . B. ( )

4 2 3 2 3 x F x x x C = + + + .

C. ( )

4 2 2 4 2 x x F x x C = + + + . D. ( ) 2 3 3 F x x x C = + + .

Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm. Câu 2. Hàm số ( ) 3 2 5 4 7 120 F x x x x C = + − + + là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A. ( ) 2 15 8 7 f x x x = + − . B. ( ) 2 5 4 7 f x x x = + + .

C. ( )

2 3 2 5 4 7 4 3 2 x x x f x = + − . D. ( ) 2 5 4 7 f x x x = + − .

Hướng dẫn giải: Lấy đạo hàm của hàm số ( ) F x ta được kết quả.

Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số: 2 1 3 y x x x = − + là

A. ( )

3 2 3 ln 3 2 = − + + x F x x x C . B. ( )

3 2 3 ln 3 2 = − + + x F x x x C .

C. ( )

3 2 3 ln 3 2 = + + + x F x x x C . D. ( ) 2 1 2 3 = −− + F x x C x .

Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm. Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ( )( ) 1 2 f x x x = + +

A. ( )

3 2 3 2 3 2 = + + + x F x x x C . B. ( )

3 2 2 2 3 3 = + + + x F x x x C .

C. ( ) 2 3 = + + F x x C . D. ( )

3 2 2 2 3 3 = − + + x F x x x C .

Hướng dẫn giải: ( ) ( )( ) 2 1 2 3 2 f x x x x x = + + = + + . Sử dụng bảng nguyên hàm.

Câu 5. Nguyên hàm ( ) F x của hàm số ( ) 2 2 2 3 5 2 f x x x x = + + − là hàm số nào?

A. ( ) 3 ln 5 2 2ln F x x x C x = − − + − + . B. ( ) 3 ln 5 2 2ln F x x x C x = − − + + + .

C. ( ) 3 ln 5 2 2ln F x x x C x = − + − + . D. ( ) 3 ln 5 2 2ln F x x x C x = − − − + + .

Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm. 4.1.2. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. Câu 6. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) sin 2 f x x =

A. 1 sin 2 cos2 2 xdx x C = − + ∫ . B. 1 sin 2 cos2 2 xdx x C = + ∫ …