Bài tập có đáp án chi tiết về tính đơn điệu của hàm số môn toán năm 2017

Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Chuyên đề: Hàm số

A. Tóm tắt lí thuyết

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Định lý 1: Cho hàm số y f (x)  có đạo hàm trên K. a) Nếu hàm số f (x) đồng biến trên K thì f '(x) 0  với mọi x K  b) Nếu hàm số f (x) nghịch biến trên K thì f '(x) 0  với mọi x K   [ f(x) đồng biến trên K]  [f '(x) 0  với mọi x K  ]  [ f(x) nghịch biến trên K]  [f '(x) 0  với mọi x K  ] [ f '(x) 0  với mọi x K  ]  [ f(x) không đổi trên K] 2) Định lý 2: Cho hàm số y f (x)  có đạo hàm trên K. a) Nếu  f ' x 0  với mọi x K  thì hàm số f (x) đồng biến trên K b) Nếu  f ' x 0  với mọi x K  thì hàm số f (x) nghịch biến trên K c) Nếu  f ' x 0  với mọi x K  thì hàm số f (x) không đổi trên K  [f '(x) 0  với mọi x K  ]  [ f(x) đồng biến trên K]  [f '(x) 0  với mọi x K  ]  [ f(x) nghịch biến trên K] 3) Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y f (x)  có đạo hàm trên K. a) Nếu  f ' x 0  với mọi x K  và  f ' x 0  chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K thì hàm số f (x) đồng biến trên K. b) Nếu  f ' x 0  với mọi x K  và  f ' x 0  chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K thì hàm số f (x) nghịch biến trên K. 4) Định lý 4: Cho hàm số bậc ba    3 2 y f x ax bx cx d a 0       , ta có



2 f ' x 3ax 2bx c   . a) Hàm số    3 2 y f x ax bx cx d a 0       đồng biến trên R  

2 f ' x 3ax 2bx c 0 x R      b) Hàm số    3 2 y f x ax bx cx d a 0      

nghịch biến trên R  

2 f ' x 3ax 2bx c 0 x R     

Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

NHẮC LẠI

Định lý: Cho tam thức bậc hai 2 ( ) ( 0) f x ax bx c a ta có:

 0 ( ) 0 x a 0 f x

 0 ( ) 0 x a 0 f x

B. Phương pháp giải toán

Dạng : Định giá trị tham số để hàm số đơn điệu trên tập hợp X cho trước.

1. PHƯƠNG PHÁP

B1. Tập xác định: ? D

B2. Tính ' ? y

B3. Lập luận:

y đồng biến trên X ' 0, y x X

y nghịch biến trên X ' 0, y x X

Chú ý quan trọng: Trong điều kiện trên dấu bằng xảy ra khi phương trình

' 0 y có hữu hạn nghiệm, nếu phương trình ' 0 y có vô hạn nghiệm thì trong

điều kiện sẽ không có dấu bằng.

2. CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1. Cho hàm số 2 3 2 1 ( ) 2 3 1 3 y m m x mx x     . Tìm m để hàm số luôn đồng biến

trên R.

Bài giải:

♦ Tập xác định:  D R

♦ Đạo hàm: 2 2 ' ( ) 4 3 y m m x mx    

♣ Hàm số luôn đồng biến trên R  ' 0 y   x R

♥ Trường hợp 1: Xét 2 0 0 1 m m m m

      

+ Với 0 m , ta có ' 3 0,    y x R, suy ra 0 m  thỏa.

+ Với 1 m , ta có 3 ' 4 3 0 4 y x x      , suy ra 1 m  không thỏa.

Hàm số FB: http://www.facebook.com/VanLuc168

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309 SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

♥ Trường hợp 2: Xét 2 0 0 1 m m m m

      

, khi đó:

♣ ' 0 y   x R 

2

2 ' 3 0

0

m m

m m

      

 3 0 0 1 m m m        

 3 0 m  

♦ Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm là 3 0 m  .

Ví dụ 2. Cho hàm số 3 2 2 3 3( 1) 2 3 y x mx m x m      . Tìm m để hàm số nghịch biến trên

khoảng   1;2 .

Bài giải

♦ Tập xác định:  D R

♦ Đạo hàm: 2 2 ' 3 6 3( 1) y x mx m    

♣ Hàm số nghịch biến trên khoảng   1;2  ' 0 y    1;2 x 

Ta có 2 2 ' 9 9( 1) 9 0, m m m      

Suy ra ' y luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2 1; 1 x m x m     1 2 ( ) x x 

Do đó: ' 0 y    1;2 x   1 2 1 2 x x   

1

2

1

2

x

x

    

 1 1 1 2 m m

    

 1 2 m  

♦ Vậy giá trị m cần tìm là 1 2 m  .

Bài tập tương tự

Cho hàm số           3 2 2 3 2 1 6 1 1 y x m x m m x . Tìm m để hàm số đồng biến trên

khoảng    2; .

Đáp số: 1 m .

Ví dụ 3. Cho hàm số 3 2 3 2 y x x mx    . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

  0;.

Bài giải

♦ Tập xác định:  D R

♦ Đạo hàm: 2 ' 3 6 y x x m   

♣ Hàm số đồng biến trên khoảng   0;

 ' 0 y ,   0; x   (có dấu bằng)