Bài tập có đáp án chi tiết về dãy số và cấp số môn toán lớp 11 năm 2009

1

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CẤP SỐ VÀ DÃY SỐ

Bài 2. (17/5/2009) Tuần trước chúng ta đã làm quen với khái niệm dãy số và hai cấp số cơ bản nhất là cấp số cộng và cấp số nhân. Xuất phát từ các tính chất của các cấp số này, chúng ta lần lượt giải các bài toán tìm số hạng của cấp số nhân cộng, của phương trình sai phân dạng xn+1 = qxn + c.n và cuối cùng là của phương trình sai phân tuyến tính bậc hai hệ số hằng. Trong bài này, chúng ta tiếp tục nghiên cứu phương pháp giải phương trình sai phân bậc hai trong trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm kép và trong trường hợp phương trình đặc trưng không có nghiệm thực. Cuối cùng, chúng ta làm quen với sai phân của dãy số, những tính chất cơ bản của sai phân hữu hạn và ứng dụng của nó. Phương trình sai phân tuyến tính bậc hai, trường hợp nghiệm kép Ta bắt đầu bằng câu hỏi thứ nhất đặt ra trong bài trước: Với dãy số dạng x0 = x0, xn+1 = qxn + c.n khi q =  ta xử lý thế nào? Dưới đây ta đưa ra một cách giải khác cho bài toán trên. Ta có xn = qxn-1 + c.n-1 xn-1 = qxn-2 + c.n-2 ….. x1 = qx0 + c Nhân dòng thứ hai với q, dòng thứ 3 với q2 và dòng thứ n với qn-1 rồi cộng vế theo vế, ta được (chú ý rằng các số hạng qxn-1, q2xn-2 …, qn-1x1 triệt tiêu nhau ở hai vế) xn = qnx0 + c(n-1 + qn-2 + … + qn-1) Từ đây, nếu q   thì ta có

q

q c x q x

n n n n 

     ) ( 0

chính là công thức ta đã thu được trong bài trước. Trong trường hợp q =  thì ta có ngay xn = qnx0 + cnqn-1 = qn(x0+cn/q). Từ kết quả này, ta dễ dàng chứng minh được định lý sau. Định lý (về nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính bậc 2, trường hợp nghiệm kép). Xét dãy số xn xác định bởi x1 = x1, x2 = x2 (tức là các số hạng này được cho trước) và xn+1 = axn + bxn-1 (1) Giả sử phương trình x2 – ax – b = 0 (2) có nghiệm kép  = . Khi đó công thức tổng quát của dãy số xn sẽ có dạng xn = c1n + c2nn trong đó c1, c2 là các hằng số xác định bởi các điều kiện ban đầu, cụ thể là từ hệ phương trình

  

 

 

2 2 2 2 1

1 2 1

2 x c c

x c c

 

 

2

Phương trình sai phân tuyến tính bậc 2, trường hợp không có nghiệm thực Ta bắt đầu từ lời giải bài tập 7 của bài trước Bài toán 1. Dãy số xn xác định bởi x0 = 2, x1 = 1 và xn+1 = xn – xn-1 a) Chứng minh rằng dãy số tuần hoàn; b) Tìm công thức tổng quát cho xn. Lời giải.

a) Ta tính các số hạng đầu tiên của dãy số thì được dãy 2, 1, -1, -2, -1, 1, 2, 1, … Từ đó ta nhận thấy xn+6 = xn với mọi n. Ta có thể chứng minh chặt chẽ điều này bằng quy nạp toán học.

b) Tính chất tuần hoàn của dãy số gợi cho chúng ta đến các dãy số cos(n) và sin(n). Nếu  = 2/k thì các

dãy này tuần hoàn với chu kỳ k. Để ý rằng phương trình xn+1 = xn – xn-1 có thể viết lại dưới dạng

xn+1 + xn-1 = 2cos(/3)xn (1) Áp dụng các công thức

2 sin 2 cos 2 sin sin , 2 cos 2 cos 2 cos cos y x y x y x y x y x y x        

ta thấy các dãy số cos(n/3), sin(n/3) đều thoả mãn phương trình (1), từ đó dãy số xn = c1cos(n/3) + c2sin(n/3) với c1, c2 là hằng số cũng thoả mãn (1). Bây giờ, ta chỉ cần chọn c1, c2 thích hợp để x0 = 2, x1 = 1 là xong. Giải hệ c1cos(0) + c2sin(0) = 2 c1cos(/3) + c2sin(/3) = 1 ta được c1 = 2, c2 = 0. Vậy công thức tổng quát của dãy số đã cho là xn = 2cos(n/3). Chú ý rằng kết quả phần a) của bài toán này có thể dùng để giải bài tập 3 của bài trước. Bài toán 2. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương, số n n ) 3 4 7 ( ) 3 4 7 (    là một số nguyên không chia hết cho 13. Lời giải tóm tắt. 3 4 7 ,3 4 7   là hai nghiệm của phương trình x2 – 14x + 1 = 0, từ đó

n n nx ) 3 4 7 ( ) 3 4 7 (     thoả mãn hệ thức xn+1 = 14xn – xn-1. Do x0 = 2, x1 = 14 nên xn nguyên với mọi n nguyên dương. Mặt khác nếu gọi rn là số dư trong phép chia xn cho 13 thì ta có rn+1 = rn – rn-1 (mod 13). Áp dụng bài toán trên, ta thấy dãy số dư là 2, 1, -1 (tức là 12), -2, 1, 2, … tuần hoàn và không có số dư nào bằng 0. Bây giờ ta sẽ sử dụng phương pháp giải của bài toán 1 để giải phương trình sai phân xn+1 = axn + bxn-1 trong trường hợp  = a2 + 4b < 0. Đặt xn = cnyn, thay vào phương trình, ta được …