Bài tập có đáp án chi tiết về bất đẳng thức và cực trị luyện thi đại học môn toán năm 2011

www.MATHVN.com

www.mathvn.com 1

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ

(Chuyên đề LTĐH 2011)

Để chứng minh các BĐT ta có thể sử dụng một số bất đẳng thức hoặc dùng phương pháp đánh giá. I.Sử dụng một số BĐT cơ bản: Các BĐT cơ bản ở đây là BĐT Cô-Si: Với n số không âm bất kì:

1 2 ; ;... ( 2) n a a a n ³ ta luôn có:

1 2

1 2 ... ... ( ) n n

n a a a a a a I n + + + ³ ; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

1 2 ... n a a a = = = .

BĐT Bunhiacôpxki: Với hai bộ số thực bất kì 1 2 1 2 ( ; ;... ),( ; ;... ) n n a a a b b b ta luôn có:

2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ... ) ( ... )( ... )( ) n n n n a b a b a b a a a b b b II + + + £ + + + + + + ; dấu bằng xảy ra khi và chỉ

Khi: 1 2

1 2

... n

n

a a a b b b = = = . BĐT: 2 2 2 ( ) a b c ab bc ca III + + ³ + + ; dấu bằng xảy ra

khi . a b c = =

BĐT:

2

1 2 1 2

1 1 1 ... ( ) ... n n

n IV a a a a a a + + + ³ + + +

; trong đó 1 2 , ,... n a a a là các số

dương; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các số này bằng nhau. Bài 1: Cho 0 a b > > . Chứng minh:

2 2 1 4 1 / 3; / 3; / 2 2. ( ) ( )( 1) ( ) a a b a c a b a b a b b b a b + ³ + ³ + ³ - - + -

Giải: a/ Theo BĐT (I) ta có: 3 1 1 ( ) 3 .( ). 3 ( ) ( ) b a b b a b b a b b a b + - + ³ - = - -

(đpcm). Dấu bằng xảy ra khi 1; 2. b a = = Bài 2: Cho a > 1; b > 1. Chứng minh: 1 1 . a b b a ab - + - £

www.MATHVN.com

www.mathvn.com 2

Giải: Theo BĐT (I) ta có: ( 1) 1 1 ( 1).1 . 2 2 b ab a b a b a - + - = - £ = ; tương tự ta

cũng có:

1 2 ab b a - £ . Cộng các vế của các BĐT này lại ta sẽ được đpcm. Dấu bằng xảy ra

khi a = b = 2. Bài 2’: a,b,c là ba số không âm có tổng bằng 1. Chứng minh:

8/ 27 ab bc ca abc + + - £ .

Giải: Theo BĐT (I) ta có: 3 (1 ) (1 ) (1 ) 2 (1 )(1 )(1 ) 3 3 a b c a b c - + - + - - - - £ =

1 8/ 27 a b c ab bc ca abc ab bc ca abc Û - - - + + + - = + + - £ (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =1/3. Bài 3: Cho ba số không âm a,b,c. Chứng minh:

3 3 3 2 2 2 a b c a bc b ca c ab + + ³ + + .

Giải: Theo BĐT (I) ta có: ( )

4 3 3 3 3 3 3 2 6 4 6 6 a b c a b c a bc + + ³ = ; tương tự ta

cũng có:

3 3 3 2 3 3 3 2 4 6 ;4 6 b c a b ca c a b c ab + + ³ + + ³ cộng các vế của các BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Bài 3’: Cho ba số dương x,y,z. Chứng minh: 6 2 3 ( ) / 432 x y z xy z + + ³ . Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức 9 3 6 ( ) / P x y x y = + trong đó x,y là các số dương. Giải: Theo BĐT (I) ta có:

3 6 9 9 9

9

3 6 3 6 6 ( ) 9 3 3. 6. 9. 3 6 3 6 3 6 2 x y x y x y x y P x y

+ æ ö æ ö + = + ³ Û = ³ = ç ÷ ç ÷ è ø è ø

Vậy GTNN của P bằng 9 6 3 / 2 khi y = 2x. Bài 5: Ba số thực a,b,c thỏa mãn hệ thức: 6 6 6 3 a b c + + = . Hãy tìm GTLN của biểu thức 2 2 2 S a b c = + + Giải: Theo BĐT (I) ta có:

6 2 6 2 6 2 1 1 3 ; 1 1 3 ; 1 1 3 9 3 3 a a b b c c S S + + ³ + + ³ + + ³ Þ ³ Û ³ Vậy GTLN của S bằng 3 khi a = b = c = 1. Bài 6: x,y là các số thực thỏa mãn các điều kiện: 0 3;0 4 x y £ £ £ £ . Tìm GTLN của biểu thức:

www.MATHVN.com

www.mathvn.com 3

(3 )(4 )(2 3 ) A x y x y = - - + . Giải: Theo BĐT (I) ta có:

3 (6 2 ) (12 3 ) (2 3 ) 2(3 ).3(4 ).(2 3 ) 6 3 x y x y x y x y - + - + + - - + £ =

3 6 6 36 A A Û £ Û £ . Vậy GTLN của A bằng 36 khi x = 0 và y = 2. Bài 7: x,y,z là các số không âm có tổng bằng 1. Tìm GTLN của biểu thức:

( )( )( ) P xyz x y y z z x = + + + . Bài 8: a,b,c là các số dương. Chứng minh:

* ( , )

m n m n m n

n n n m m m a b c a b c m n N b c a

+ + + + + ³ + + Î

Giải: Theo BĐT (I) ta có: ( ) ( ) ( )

n m n m n n n m n m n m m a a n mb m n b m n a b b

+ +

+ æ ö + ³ + = + ç ÷ è ø

.

Tương tự

ta cũng có: ( ) ; ( )

m n m n n n n n m m b c n mc m n b n ma m n c c a

+ + + ³ + + ³ + . Cộng các BĐT

này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.

Chú ý: Nếu 1 m n = = thì ta được BĐT:

2 2 2

. a b c a b c b c a + + ³ + +

Bài 9: Cho 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh:

3 3 3

. ( ) ( ) ( ) 2 a b c a b c b c a c a b a b c

+ + + + ³ + + +

Giải: Theo BĐT (I) ta có:

3 3

3 3 3 ( ) 2 4 ( ) 2 4 2 a b c a a b c a a b c a b c a + + + + ³ = + …