Bài tập có đáp án chi tiết về hệ phương trình trong đề thi đại học năm 2014

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932

http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 1 -

Hệ phương trình trong các kỳ thi tuyển sinh ñại học(ñề chính thức)

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2014

Giải hệ phương trình sau: ( ) 2

3

12 12 12

8 1 2 2

x y y x

x x y

 − + − =   − −= − 

trong ñó ( ) ,x y ∈ℝ

Hướng dẫn giải ( ) ( )

( )

2

3

12 12 12 1

8 1 2 2 2

x y y x

x x y

 − + − =   − −= − 

ðiều kiện: 2 3 2 3 x − < ≤ ; 2 12 y ≤ ≤

Ta có

( )

2

2 2

12 12 2 12 12 2

x y x y

y x y x

 + − − ≤  + −  − ≤ 

. Nên ( ) 2 12 12 12 x y y x − + − ≤ . Do ñó: ( ) 2 0 1 12

x

y x

≥  ⇔ = − 

Thay vào phương trình (2) của hệ phương trình ta ñược

( )

( ) ( ) ( )

3 2 3 2

2

2

8 1 2 10 8 3 2 1 10 0

2 3 3 3 1 0 3 1 10

x x x x x x

x x x x x

− −= − ⇔ − −+ − − =

  + ⇔ − + + + =   + −  

Do 0 x ≥ nên ( ) 2

2 2 3 3 1 0 1 10

x x x x

+ + + + > + −

Do ñó: ( ) 3 3 x ⇔ = thay vào hệ phương trình và ñối chiếu ñiều kiện ta thu ñược nghiệm của

hệ phương trình là ( ) ( ) ; 3;3 x y = .

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối B-2014:

Giải hệ phương trình sau: ( ) ( )

2 1 2 1

2 3 6 1 2 2 4 5 3

x x y x x y y

y x y x y x y

 − − + = + − − 

− + + = − − − −  trong ñó ( ) ,x y ∈ℝ

Hướng dẫn giải

Ta có ( ) ( ) ( )

( ) 2 1 2 1 1

2 3 6 1 2 2 4 5 3 2

x x y x x y y

y x y x y x y

 − − + = + − −  − + + = − − − − 

ðiều kiện:

0

2 4 5 3

y

x y x y

≥  ≥   ≥ + 

Ta có ( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

1 1 1 1 1 0

1 1 1 1 0 3 1 1

y x y x y y

y x y x y y

⇔ − − − + − − − =

  ⇔ − − − + =     − + +  

Do 1 1 0 1 1 x y y + > − + + nên phương trình (3) tương ñương với 1

1

y

y x

=   = − 

Với 1 y = , phương trình (2) trở thành 9 3 0 3 x x − = ⇔ =

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932

http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 2 -

Với 1 y x = −, ñối chiếu ñiều kiện thì phương trình 2 trở thành

( ) ( )

( )

2 2

2

2 3 2 2 1 1 2 0

1 1 2 0 1 2

x x x x x x x

x x x x

− − = − ⇔ − − + −− − =

  ⇔ − − + =   −+ −  

Do 1 2 0 1 2 x x + > −+ − nên (3) 2 1 5 1 0 2 x x x ± − −= ⇔ =

ðối chiếu ñiều kiện và kết hợp với trường hợp trên ta ñược nghiệm của hệ phương trình ñã

cho là ( ) ( ) 1 5 1 5 ; 3;1 , ; 2 2 x y   + −+ =      

Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối D-2014: Giải bất phương trình ( ) ( )

2 1 2 6 7 7 12 x x x x x x + + + + + ≥ + +

Hướng dẫn giải ðiều kiện: 2 x ≥−. Bất phương trình ñã cho tương ñương với ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2 1 2 2 6 7 3 2 8 0

1 6 2 4 0 1 2 2 7 3

x x x x x x

x x x x x x

+ + − + + + − − + − ≥

+ +   ⇔ − + − − ≥   + + + +  

Do 2 x ≥ nên 2 0 x + ≥ và 6 0 x + > . Suy ra 1 6 2 2 6 6 1 4 0 2 2 2 2 7 3 2 2 7 3 2 2 x x x x x x x x x x x x + + + + + +     + − − = − + − − <     + + + + + + + + + +    

Do ñó ( ) 1 2 x ⇔ ≤ ðối chiếu ñiều kiện, ta ñược nghiệm của bất phương trình ñã cho là 2 2 x −≤ ≤ Trích từ ñề thi tuyển sinh ðại học khối A-2013:

Giải hệ phương trình sau:

( )

4 4

2 2 1 1 2

2 1 6 1 0

x x y y

x x y y y

 + + −− + =  + − + − + =  trong ñó ( ) ,x y ∈ℝ

Hướng dẫn giải ðiều kiện: 1 x ≥ Từ phương trình (2) của hệ phương trình ta ñược ( ) 2 4 1 , 0 y x y y = + − ⇒ ≥

ðặt 4 1, 0 u x u = − ⇒ ≥ . Phương trình (1) của hệ phương trình trở thành

( ) 4 4 2 2 3 u u y y + + = + +

Xet hàm số ( )

4 2 f t t t = + + , Với mọi 0 t ≥.

Ta có: ( )

3

4 2 ' 1 0 2

t f t t = + > + ,Với mọi 0 t ≥.

Do ñó phương trình (3) tương ñương với y u = , nghĩa là 4 1 x y = + Thay vào phương trình (2) ta thu ñược ( ) ( ) 7 4 2 4 0 4 y y y y + + − =

Hàm số ( )

7 4 2 4 f y y y y = + + − có ( )

6 3 ' 7 8 1 0 g y y y = + + > , với mọi 0 y ≥

Mà ( )1 0 g = , nên phương trình (4) có hai nghiệm không âm là 0

1

y

y

=   = 

Với 0 y = ta ñược nghiệm của ( ) ( ) ; 1;0 x y =

Với 1 y = ta ñược nghiệm là ( ) ( ) ; 2;1 x y =