Chuyên đề số nguyên tố

Website:tailieumontoan.com 1

CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS

LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán

THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em chuyên đề về số nguyên tố và

hợp số. Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề về này nhằm đáp ứng nhu cầu

về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới về quan hệ chia hết thường được ra trong các kì

thi gần đây. Chuyên đề gồm 4 phần:

• Tóm tắt lý thuyết

• Các dạng toán thường gặp

• Bài Tập rèn luyện

• Hướng dẫn giải bài tập rèn luyện

Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng chuyên đề này để giúp

con em mình học tập. Hy vọng chuyên đề về số nguyên tố và hợp số này có thể giúp ích nhiều cho

học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung.

Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế,

sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học!

Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này!

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Website:tailieumontoan.com 2

Mục Lục

Trang

Lời nói đầu 1

Phần A. Tóm tắt lý thuyết cần nhớ 3

3

3

4

5

5

6

6

6

9

12

13

14

16

18

20

24

25

1. Định nghĩa số nguyên tố

2. Một số định lý cơ bản

3. Cách nhận biết số nguyên tố

4. Số các ước số và tổng các ước số

5. Hai số nguyên tố cùng nhau

6. Một số định lý đặng biệt

Phần 2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1. Sử dụng phương pháp phân tích thừa số

Dạng 2. Tìm số nguyên tố p thỏa mãn điều kiện cho trước

Dạng 3. Nhận biết số nguyên tố, sự phân bố số nguyên tố trong N

Dạng 4. Các bài toán chứng minh số nguyên tố

Dạng 5. Có bao nhiêu số nguyên tố dạng ax + b (x thuộc N, (a, b) = 1)

Dạng 6. Áp dụng định lý Fermat

Dạng 7. Các bài toán về các số nguyên tố cùng nhau

Dạng 8. Giải phương trình nghiệm nguyên nhờ tính chất số nguyên tố

Dạng 9. Các bài toán liên quan đến số nguyên tố

Phần 3. Tuyển chọn các bài toán số nguyên tố trong các đề thi toán

THCS

Phần 4. Hướng dẫn các bài toán số nguyên tố trong các đề thi toán THCS 33

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Website:tailieumontoan.com 3

SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ

A/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

I/ ĐỊNH NGHĨA

1) Số nguyên tố là những số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước số là 1 và chính nó.

Ví dụ: 2, 3, 5, 7 11, 13,17, 19....

2) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước.

Ví dụ: 4 có 3 ước số: 1 ; 2 và 4 nên 4 là hợp số.

3) Các số 0 và 1 không phải là só nguyên tố cũng không phải là hợp số

4) Bất kỳ số tự nhiên lớn hơn 1 nào cũng có ít nhất một ước số nguyên tố

II/ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN

1) Định lý 1: Dãy số nguyên tố là dãy số vô hạn

Chứng minh:

Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là p1; p2; p3; ....pn. trong đó pn là số lớn nhất

trong các nguyên tố. Xét số N = p1 p2 ...pn +1 thì N chia cho mỗi số nguyên tố pi (i = 1, n)

đều dư 1 (1)

Mặt khác N là một hợp số (vì nó lớn hơn số nguyên tố lớn nhất là pn) do đó N phải

có một ước nguyên tố nào đó, tức là N chia hết cho một trong các số pi (i = 1, n). (2)

Ta thấy (2) mâu thuẫn (1).

Vậy không thể có hữu hạn số nguyên tố.

2/ Định lý 2:

Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy

nhất (không kể thứ tự các thừa số).

Chứng minh:

* Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố:

Thật vậy: giả sử điều khẳng định trên là đúng với mọi số m thoả mãn: 1< m < n

ta chứng minh điều đó đúng với mọi n.

Nếu n là nguyên tố, ta có điều phải chứng minh.

Nếu n là hợp số, theo định nghĩa hợp số, ta có: n = a.b (với a, b < n)

Theo giả thiết quy nạp: a và b là tích các thừa số nhỏ hơn n nên n là tích cuả các

thừa số nguyên tố.

* Sự phân tích là duy nhất:

Giả sử mọi số m < n đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất, ta

chứng minh điều đó đúng với n:

Nếu n là số nguyên tố thì ta được điều phải chứng …