Chuyên đề quan hệ chia hết trên tập hợp số

Website:tailieumontoan.com

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

1

CÁC BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ

CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ

LỜI NÓI ĐẦU

Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán

THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em chuyên đề về các bài toán về

quan hệ chia hết trên tập hợp số. Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề về

này nhằm đáp ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới về quan hệ chia hết

thường được ra trong các kì thi gần đây. Chuyên đề gồm 4 phần:

 Một số kiến thức cần nhớ

 Các dạng toán thường gặp

 Tuyển chọn các bài toán quan hệ chia hết hay trong các đề thi toán THCS

 Hướng dẫn giải các bài toán chia hết trong các đề thi toán THCS

Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng chuyên đề này để giúp

con em mình học tập. Hy vọng chuyên đề về quan hệ chia hết này có thể giúp ích nhiều cho học sinh

phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung.

Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế,

sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học!

Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này!

Website:tailieumontoan.com

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

2

Mục Lục

Trang

Lời nói đầu 1

Phần 1. Một số kiến thức cần nhớ 3

1. Định nghĩa phép chia hết 3

2. Một số tính chất cần nhớ 3

3. Một số dấu hiệu chia hết 3

Phần 2. Các dạng toán thƣờng gặp 4

Dạng 1. Chứng minh tích các số nguyên liên tiếp chia hết cho một số cho trước 4

Dạng 2. Phân tích thành nhân tử 5

Dạng 3. Sử dụng phương ph{p t{ch tổng 6

Dạng 4. Sử dụng hằng đẳng thức 8

Dạng 5. Sử dụng phương ph{p xét số dư 10

Dạng 6. Sử dụng phuong pháp phản chứng 11

Dạng 7. Sử dụng phương ph{p quy nạp 12

Dạng 8. Sử dụng phương ph{p Dirichlet 13

Dạng 9. Sử dụng đồng dư 14

Dạng 10. Sử dụng tính chất chia hết v| định lý Fermat nhỏ 16

Dạng 11. Các bài toán chia hết với đa thức 16

Dạng 12. Tìm giá trị của biến để chia hết 18

Tổng kết phƣơng pháp giải toán 20

Phần 3. Tuyển chọn các bài toán quan hệ chia hết trong các đề thi toán THCS 21

Phần 4. Hƣớng dẫn các bài toán chia hết trong các đề thi toán THCS 28

Website:tailieumontoan.com

Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC

3

I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1. Định nghĩa phép chia.

Cho hai số nguyên a v| b trong đó b  0 ta luôn tìm được hai số nguyên q v| r

duy nhất sao cho   a bq r , với   0 r b . Trong đó a l| số bị chia, b l| số chia, q l|

thương, r l| số dư.

Khi a chia cho b thì c{c số dư    r 0;1;2;3;...; b

 Nếu  r 0 thì  a bq , khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a. Ký hiệu: a b

hay b a .

Vậy a chia hết cho b khi v| chỉ khi tồn tại số nguyên q sao cho  a bq .

 Nếu  r 0 , khi đó ta nói a chia b có số dư l| r.

2. Một số tính chất cần nhớ

 Tính chất 1. Mọi số nguyên kh{c 0 luôn chia hết cho chính nó.

 Tính chất 2. Số nguyên a chia hết cho số nguyên b v| số nguyên b chia hết cho số

nguyên c thì số nguyên a chia hết cho số nguyên c.

 Tính chất 3. Số nguyên a chia hết cho số nguyên b v| ngược lại thì  a b .

 Tính chất 4. Nếu a.b m và   b,m 1 thì a m .

 Tính chất 5. Nếu hai số nguyên a v| b cùng chia hết cho m thì    a b m .

 Tính chất 6. Nếu a chia hết cho m v| n, trong đó   m,n 1 thì a mn .

 Tính chất 7. Nếu số nguyên a chia hết cho số nguyên b v| số nguyên c chia hết cho

số nguyên d thì tích ac chia hết cho tích bd.

 Tính chất 8. Trong n số nguyên liên tiếp luôn tồn tại một số nguyên chia hết cho n.

 Tính chất 9. Nếu   a b 0 với a, b l| c{c số tự nhiên thì     n n a b n N chia hết cho

 a b.

 Tính chất 10. Nếu   a b 0 với a, b l| c{c số tự nhiên v| n l| số tự nhiên lẻ thì

 n n a b chia hết cho  a b.

3. Một số dấu hiệu chia hết

Đặt   n n 1 2 1 0 A a a ...a a a , với  n n 1 2 1 0 a ;a ;...;a ;a ;a l| c{c chữ số. Khi đó ta có c{c dấu

hiệu chia hết như …