Một số phương pháp giải phương trình hàm và bất phương trình hàm Bùi Ngọc Diệp

Mục lục

Mởđầu 2

1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH 4

2 PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP 53

3 MỘT SỐBÀI TOÁN KHÁC 90

4 MỘT SỐBÀI TOÁN TỰLUYỆN 103

Kết luận 107

Tài liệu tham khảo 107

1

Mởđầu

Hàm sốlà một trong những đối tượng nghiên cứu trung tâm của Toán sơ cấp. Một trong

những chủđềliên quan đến hàm sốthường xuyên xuất hiện trong các kỳthi chọn học sinh giỏi

cấp tỉnh, kỳthi chọn học sinh giỏi Quốc gia và kỳthi Olympic toán Quốc tếlà giải phương

trình hàm, bất phương trình hàm. Đối với các phương trình, bất phương trình đại sốtrong

sách giáo khoa, mục tiêu của chúng ta là tìm các biến chưa biết nhưng đối với phương trình

hàm, bất phương trình hàm chúng ta cần phải tìm một "hàm số" thỏa mãn một sốđiều kiện

ràng buộc cho trước của bài toán. Đây là một chủđềkhó. Đừng trước mỗi bài toán thuộc chủ

đềnày, học sinh phải nắm vững được những kĩ thuật, phương pháp giải, cũng như phải có sự

xửlí khéo léo khi đứng trước những tình huống cụthể. Chúng ta có nhiều phương pháp cũng

như hướng tiếp cận khác nhau đối với các bài toán thuộc chủđềnày. Với mục tiêu muốn đóng

góp một phần nào đó trong việc hoàn thành một bức tranh tổng thểvềcác phương pháp giải

phương trình hàm và bất phương trình hàm, trong chuyên đềnày chúng tôi sẽgiới thiệu tới

bạn đọc hai phương pháp thường được sửdụng đểgiải quyết các bài toán thuộc chủđềnày

thông qua các bài toán cụthể, đó là phương pháp giải tích và phương pháp tổng hợp.

Trong từng phương pháp, chúng tôi sẽđưa ra một hệthống các bài toán với những lời giải

chi tiết, rõ ràng. Hơn nữa, sau mỗi lời giải, chúng tôi ra đưa những nhận xét, phân tích, bình

luận đểgiúp người đọc có một cách nhìn tổng quan hơn vềbài toán đó cũng như phương pháp

được sửdụng.

Mục tiêu của chuyên đềnày là giới thiệu phương pháp giải tích và phương pháp tổng hợp

với những kĩ thuật đặc trưng của nó thông qua các ví dụcụthểthông qua một sốbài toán

phương trình hàm, bất phương trình đã xuất hiện trong các kỳthi học sinh giỏi quốc gia và

quốc tế. Chuyên đềđược bốcục như sau.

Trong chương 1, chúng tôi sẽgiới thiệu phương pháp giải tích thông qua hệthống các bài

toán cùng với những kĩ thuật và lưu ý cần thiết khi sửdụng phương pháp này.

2

3

Trong chương 2, chúng tôi sẽgiới thiệu tới bạn đọc phương pháp tổng hợp thông qua hệ

thống gồm mười bài toán khác nhau. Đây là phương pháp thông dụng nhất, nó là sựkết hợp

giữa nhiều phương pháp, kĩ thuật khác nhau.

Trong chương 3, chúng tôi đưa một sốbài toán khác mà phương pháp giải chúng là hai

phương pháp nói trên nhưng không kèm theo các nhận xét, phân tích.

Trong chương 4, chúng tôi đưa một hệthống các bài toán không có lời giải dành cho bạn

đọc tựluyện tập.

Chương 1

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH

Phép lấy giới hạn được coi phép toán cơ bản thứnăm trong toán học sau các phép toán

cộng, trừnhân, chia. Vềmặt bản chất phép toán này cho phép ta "xấp xỉ" các đại lượng đang

cần tìm (cần tính) bởi một đại lượng đã có từtrước (hoặc dễdàng tính toán được). Với ý tưởng

xuất phát từnguyên lý kẹp cũng như các tính chất so sánh giới hạn trong dãy sốvà hàm số,

phương pháp giải tích trong các bài toán phương trình hàm, bất phương trình hàm là phương

pháp sửdụng phép lấy giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm sốđểthu được các tính chất

của nghiệm hàm hay công thức tổng quát của nghiệm hàm. Đặc biệt, nó tỏra vô cùng hữu

dụng trong các bài toán tìm một chặn trên (hoặc chặn dưới) của nghiệm hàm. Ởđây, chúng

tôi nhắc lại một sốkỹthuật và lưu ý thường xuyên được sửdụng trong phương pháp này.

(1) Đểtìm công thức tổng quát của hàm sốf(x) thỏa mãn một điều kiện cho trước, chúng

ta sẽxây dựng bất đẳng thức có dạng

Hn ≤f (x) ≤Gn

với x cốđịnh và với ∀n ∈N. Trong đó {Hn}n∈N và {Gn}n∈N là hai dãy sốthỏa mãn

lim n→∞Hn = lim n→∞Gn = K (x) .

Khi đó cho n →+∞trong bất đẳng thức trên và chú ý rằng f(x) là một hàm hằng đối

n, ta được

f(x) = K(x).

4