Ứng dụng hàng điểm điều hòa trong bài toán đường phân giác và bài toán đồng quy, thẳng hàng

1

ỨNG DỤNG HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA TRONG BÀI TOÁN ĐƯỜNG PHÂN

GIÁC VÀ BÀI TOÁN ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG

Tác giả: Nguyễn Bá Hoàng

Trường THPT Chuyên Lào Cai

A. PHẦN MỞ ĐẦU

I. Lý do chọn đề tài

Các bài toán về Hình học phẳng thường xuyên xuất hiện trong các kì thi HSG môn toán

và luôn được đánh giá là nội dung khó trong đề thi. Có rất nhiều dạng bài tập về hình học

phẳng cùng với sự tương ứng của các công cụ đi cùng, trong đó hàng điểm điều hòa là một

trong những công cụ mạnh để giải nhiều lớp bài toán về hình học. Mặc dù là một vấn đề khá

quen thuộc của hình học phẳng, kiến thức về nó khá đơn giản và dễ hiểu, tuy nhiên nó có ứng

dụng nhiều đối với các bài toán chứng minh vuông góc, đồng quy, thẳng hàng, điểm cố đinh,

đường cố định hay các bài toán về tập hợp điểm…. Chính vì thế trong các kì thi học sinh giỏi

quốc gia, thi Olympic Toán quốc tế và khu vực, những bài toán có liên quan đến hàng điểm

điều hòa thường xuyên được đề cập và thường được xem là những dạng toán hay của kì thi.

Chính vì vậy tác giả lựa chọn chuyên đề: "Ứng dụng hàng điểm điều hòa trong bài toán

phân giác và đồng quy, thẳng hàng" để thấy được ứng dụng quan trọng của hàng điểm điều hòa

đối với khá nhiều dạng bài tập hình học phẳng. Trong chuyên đề tác giả cố gắng tập hợp được

các bài toán đặc trưng cho việc sử dụng công cụ hàng điểm điều hòa.

II. Mục đích của chuyên đề

Thông qua chuyên đề "Ứng dụng hàng điểm điều hòa trong bài toán phân giác và đồng

quy, thẳng hàng" tác giả rất mong muốn nhận được góp ý trao đổi của các bạn đồng nghiệp và

các em học sinh. Chúng tôi mong muốn chuyên đề này góp một phần nhỏ để việc ứng dụng

hàng điểm điều hòa trong bài toán hình học phẳng đạt hiệu quả cao nhất. Từ đó giúp các em

học sinh hiểu rõ hơn về việc sử dụng hàng điểm điều hòa và tăng khả năng vận dụng nó vào

giải các bài toán hình học một cách tốt nhất.

2

B. PHẦN NỘI DUNG

I. Hệ thống lý thuyết cơ bản về hàng điểm điều hòa

1. Tỉ số kép của hàng điểm

a) Định nghĩa 1

+ Bộ bốn điểm đôi một khác nhau có kể đến thứ tự cùng thuộc một đường thẳng được gọi là

hàng điểm.

+ Tỉ số kép của hàng điểm , , , A B C D là một số, kí hiệu là (ABCD) và được xác định bởi:

  : CA DA ABCD CB DB

b) Tính chất của tỉ số kép:

+)         ABCD CDAB BADC DCBA    +)       1 1 ABCD BACD ABDC  

+)       1 1 ABCD ACBD DBCA   +) Nếu    ' ABCD ABCD  thì ' D D 

2. Hàng điểm điều hòa

a) Định nghĩa 2:

A D B C

Nếu   1 ABCD  thì hàng điểm A, B, C, D được gọi là hàng điểm điều hòa.

Nói cách khác nếu CA DA CB DB  thì hàng điểm A, B, C, D được gọi là hàng điểm điều hòa.

b) Một số định định lí quan trọng (được suy trực tiếp từ định nghĩa):

Định lí 1: (Hệ thức Newton)

Cho ( ) 1 ABCD . Gọi N là trung điểm của AB. Khi đó 2 2 . NA NB NC ND  

Định lí 2: (Hệ thức Descartes)

Cho ( ) 1 ABCD . Khi đó 2 1 1 AB AC AD  

Định lí 3: (Hệ thức Maclaurin)

Cho ( ) 1 ABCD . Gọi I là trung điểm của CD. Khi đó . . AC AD AB AI 

Định lí 4: Cho ( , , , ) 1 A B C D . Lấy O sao cho OC là phân giác trong của  AOB thì OD là phân

giác ngoài của  AOB.