Sử dụng định lý Ceva và Menelaus trong bài toán chứng minh đồng quy, thẳng hàng

1

SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ CEVA VÀ MENELAUS TRONG BÀI TOÁN

CHỨNG MINH ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG

Phần 1. Đặt vấn đề

Các bài toán Hình học phẳng là một phần quan trọng trong các chuyên đề

toán học và đồng thời nó cũng là một mảng khó trong chương trình toán THPT

chuyên. Chính vì thế trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Toán

quốc tế và khu vực, những bài toán Hình học phẳng cũng hay được đề cập và

thường được xem là bài toán khó của kì thi. Trong các dạng toán liên quan đến

Hình học phẳng thì bài toán đồng quy, thẳng hàng vừa được coi là bài toán quen

và lạ, vừa dễ vừa khó. Bởi bài toán đồng quy, thẳng hàng đã được làm quen từ

khi các em bắt đầu học Hình học cho đến chúng ta cảm thấy rất quen thuộc với

Hình hoc nó vẫn hiện hữu. Nó lại là bài toán có tần suất xuất hiện nhiều nhất

trong tất cả các kì thi HSG các cấp với rất nhiều hình thái khác nhau, mức độ

khác nhau thậm chí là rất khó.

Các em học sinh bậc Trung học phổ thông thường gặp một số khó khăn

khi tiếp cận các dạng toán liên quan đến bài toán đồng quy thẳng hàng nói riêng

và bài toán Hình học phẳng nói chung bởi không biết phải bắt đầu từ đâu và khó

khăn khi định hướng vẽ hình phụ. Cái khó của các em chính là không nắm được

tường tận các phương pháp giải quyết từ đó dẫn đến khó khăn trong khâu định

hướng. Để hiểu và vận dụng tốt một số dạng toán cơ bản và vận dụng kiến thức

Hình học phẳng vào giải toán đồng quy thẳng hàng thì thông thường học sinh

phải có kiến thức nền tảng Hình học tương đối đầy đủ và chắc chắn trên tất cả

các lĩnh vực của nó.

Trong số rất nhiều các phương pháp để giải quyết bài toán đồng quy,

thẳng hàng tác giả lựa chọn các phương pháp “Sử dụng định lý Ceva và

Menelaus” để giải quyết lớp bài toán trên. Đây là phương pháp khá cổ điển và

đặc trưng cho lớp bài toán này.

2

Phần 2 ĐỊNH LÝ CEVA VÀ MENELAUS

TRONG BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG

1 Lý thuyết

1.1. Định lí Ceva: Cho tam giác ABC và các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các

cạnh BC, CA, AB. Khi đó AA’, BB’, CC’ đồng quy khi và chỉ khi

' ' ' . . 1 ' ' ' A B B C C A A C B A C B  hay ' ' ' . . 1 ' ' ' A B B C C A A C B A C B .

Chứng minh:

AA’, BB’, CC’ đồng quy khi và chỉ khi: ' ' ' . . 1. ' ' ' A B B C C A A C B A C B  (1)

() Cho AA’, BB’, CC’ đồng quy ta chứng minh (1)

Giả sử BB’, CC’ cắt đường thẳng qua A song song với BC lần lượt tại I và K.

Áp dụng định lí Thales có: ' ' ; . ' ' B C BC C A AK B A AI C B BC  

Hơn nữa ta có: ' ' ' ' ' AI AM AK A B AI A B MA A C A C AK    

Vậy ta có ' ' ' . . . . 1. ' ' ' A B B C C A AI BC AK A C B A C B AK AI BC  

() Giả sử ta có hệ thức (1), ta cần chứng minh AA’, BB’, CC’ đồng quy.

Gọi P là giao điểm của AA’ và BB’, D là giao điểm của CP và AB. Khi đó áp

dụng phần trên ta có ' ' . . 1. ' ' A B B C DA A C B A DB  (2)

Từ (1) và (2) ta có ' ' ' C A DA C D C B DB    (Do C’ và D cùng thuộc cạnh AB)

Vậy AA’, BB’, CC’ đồng quy tại P.

3

Bộ ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy như trên được gọi là bộ ba đường

thẳng

Ceva và các đoạn thẳng AA’, BB’và CC’ được gọi là bộ ba đoạn thẳng Ceva.

Nhận xét:

Trong chứng minh phần thuận của đình lý, có thể dùng các tỷ sổ diện tích như

sau : . . . . . 1 BOC COA AOB

AOB BOC COA

S S S AG BE CF GB EC FA S S S  

- Các đoạn thẳng AE, BF, CG đươc gọi là các đường Ceva của tam giác

- Khi các điểm E, F, G có thể nằm tùy ý trên các đường thẳng chứa cạnh thì định

lý Ceva mở được phát biểu như sau: Cho các điểm D, E, F tương ứng nằm trên

các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó các đương thẳng AD, BE, CF đồng quy

nếu và chỉ nếu: . . 1 BD CE FA DC EA BF

.

1.2. Định lí Ceva dạng lượng giác (Ceva sin)

Cho tam giác ABC. D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC, AC, AB.

Chứng minh rằng các mệnh đề sau là tương đương:

a) AD, BE, CF đồng quy tại một điểm.

b)

 





  sin . . 1 sin

ABE BCF CAD

EBC FCA DAB

.

c) . . 1 AE CD BF EC DB FA .

Chứng minh:

Chúng ta sẽ chứng minh rằng a) dẫn đến b), b) dẫn đến c), và c) dẫn đến a).

Giả sử a) đúng. Gọi P là giao …