Phương trình hàm qua các cuộc thi trên thế giới năm 2022

ĐOÀN QUANG ĐĂNG Email: dangdoanquang8@gmail.com

PHƯƠNG TRÌNH HÀM QUA CÁC CUỘC THI TRÊN THẾGIỚI NĂM 2022

Mathpiad Thành phốHồChí Minh, ngày 16 tháng 1 năm 2023

Đoàn Quang Đăng Mathpiad

Mục lục

1 Đềbài 2

1.1 Phương trình hàm trên tập sốthực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Phương trình hàm trên tập sốthực dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Phương trình hàm trên tập rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Bất phương trình hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Lời giải 6

2.1 Phương trình hàm trên tập sốthực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Phương trình hàm trên tập các sốthực dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Phương trình hàm trên tập rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4 Bất phương trình hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1

Đoàn Quang Đăng Mathpiad

§1 Đềbài

§1.1 Phương trình hàm trên tập sốthực

Bài toán 1 (Việt Nam TST 2022). Cho sốthực α và xét hàm sốφ(x) = x2eαx với mọi x ∈R. Tìm tất cảhàm sốf : R →R thỏa mãn

f (φ(x) + f(y)) = y + φ(f(x))

với mọi sốthực x, y.

Bài toán 2 (District Olympiad 2022). Tìm tất cảhàm sốf : R →R thỏa mãn

f (f(y −x) −xf(y)) + f(x) = y (1 −f(x))

với mọi sốthực x, y.

Bài toán 3 (Iran MO Second Round 2022). Tìm tất cảhàm sốf : R →R thỏa mãn

f(xf(y) + f(x) + y) = xy + f(x) + f(y)

với mọi sốthực x, y.

Bài toán 4 (Kosovo MO 2022). Tìm tất cảhàm sốf : R →R thỏa mãn

f(f(x −y) −yf(x)) = xf(y)

với mọi sốthực x, y.

Bài toán 5 (Kosovo TST 2022). Tìm tất cảhàm sốf : R →R thỏa mãn

f x2 + 2f(xy) = xf(x + y) + yf(x)

với mọi sốthực x, y.

Bài toán 6 (IMO 2022 Malaysian Training Camp). Tìm tất cảhàm sốf : R →R thỏa mãn

f (xf(x) + 2y) = f(x)2 + x + 2f(y)

với mọi sốthực x, y.

Bài toán 7 (IMO 2022 Malaysian Training Camp). Tìm tất cảhàm sốf : R →R thỏa mãn

f x2 + f(x + y) = y + xf(x + 1)

với mọi sốthực x, y.

Bài toán 8 (MEMO 2022). Tìm tất cảhàm sốf : R →R thỏa mãn

f(x + f(x + y)) = x + f(f(x) + y))

với mọi sốthực x, y.

Bài toán 9 (DAMO). Tìm tất cảhàm sốf : R →R thỏa mãn

f(2xy + f(x)) = xf(y) + f(yf(x) + x)

với mọi sốthực x, y.

2

Đoàn Quang Đăng Mathpiad

Bài toán 10 (Nordic 2022). Tìm tất cảhàm sốf : R →R thỏa mãn đồng thời

i) f (f(x)f(1 −x)) = f(x) ∀x ∈R;

ii) f (f(x)) = 1 −f(x) ∀x ∈R.

Bài toán 11 (Romania EGMO TST 2022). Tìm tất cảhàm sốf : R →R thỏa mãn

f(f(x) + y) = f(x2 −y) + 4yf(x)

với mọi sốthực x, y.

Bài toán 12 (HMMT 2022). Tìm tất cảhàm sốf : R\{0} →R thỏa mãn

f(x)2 −f(y)f(z) = x(x + y + z) (f(x) + f(y) + f(z))

với mọi sốthực x, y, z thỏa mãn xyz = 1.

Bài toán 13 (China TST 2022). Tìm tất cảhàm sốf : R →R thỏa mãn

{f (xf(y) + 1) , f (yf(x) −1)} = {xf (f(y)) + 1, yf (f(x)) −1}

với mọi x, y ∈R, trong đó {a, b} = {c, d} ⇐⇒ a = c, b = d a = d, b = c .

§1.2 Phương trình hàm trên tập sốthực dương

Bài toán 14 (VMO 2022). Tìm tất cảhàm sốf : R+ →R+ thỏa mãn

f f(x)

x + y = 1 + f(y)

với mọi sốthực dương x, y.

Bài toán 15 (Balkan MO 2022). Tìm tất cảhàm sốf : R+ →R+ thỏa mãn

f yf(x)3 + x = x3f(y) + f(x)

với mọi sốthực dương x, y.

Bài toán 16 (PAMO 2022). Tìm tất cảhàm sốf, g : R+ →R+ thỏa mãn

i) (f(x) + y −1) (g(y) + x −1) = (x + y)2 ∀x, y > 0;

ii) (−f(x) + y) (g(y) + x) = (x + y + 1)(y −x −1) ∀x, y > 0.

Bài toán 17 ( Iran MO Third Round 2022). Tìm tất cảhàm sốf : R+ →R+ thỏa mãn

f(x + f(y) + f(f(z))) = z + f(y + f(x))

với mọi sốthực dương x, y, z.

Bài toán 18 (Czech-Polish-Slovak Match 2022). Tìm tất cảhàm sốf : R+ →R+ thỏa mãn

f f(x) + y + 1

f(y)

= 1 f(y) + x + 1

với mọi sốthực dương x, y.

3