Một số tính chất hình học của đồ thị hàm số hữu tỉ Phạm Tùng Quân

MỘT SỐTÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA

ĐỒTHỊHÀM SỐHỮU TỈ

Học sinh: Phạm Tùng Quân

Lớp: 11 Tin

Trường: Trung học Phổthông Chuyên Thăng Long, Đà Lạt

Giáo viên hướng dẫn: Đặng Nhi Thảo

Cốvấn khoa học: PGS. TS. Phạm Tiến Sơn

Đà Lạt, Ngày 1 tháng 10 năm 2016

Mục lục

1 Giới thiệu 1

2 Kiến thức chuẩn bị 3

3 Tính lồi, lồi chặt của hàm sốy = f(x) 5

4 Hướng tiệm cận của đồthịhàm sốy = f(x) 10

4.1 Hướng tiệm cận của đồthịhàm sốkhi x tiến ra vô cùng . . . . . . . 11

4.2 Hướng tiệm cận của đồthịhàm sốkhi x tiến đến α . . . . . . . . . . 14

5 Hình học của đồthịhàm sốy = f(x) ngoài các đường tiệm cận 16

6 Hình học của đồthịhàm sốy = f(x) giữa hai đường tiệm cận 16

6.0.1 Trường hợp 1a: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6.0.2 Trường hợp 1b: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6.0.3 Trường hợp 2a: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6.0.4 Trường hợp 2b: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6.0.5 Trường hợp 3a: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.0.6 Trường hợp 3b: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Tài liệu tham khảo 25

1 Giới thiệu

Trong chương trình toán trung học phổthông, các sách giáo khoa và sách tham khảo

thường chỉtrình bày tính chất của các đa thức bậc ≤3 và các hàm sốhữu tỉđơn

giản. Em nhận thấy rằng rất ít tài liệu đềcập đến đa thức bậc cao. Một câu hỏi nảy

sinh là các đa thức (bậc tùy ý) hay tổng quát hơn, các hàm sốhữu tỉ, có những tính

chất đặc trưng gì?

Các đồthịhàm sốbậc nhất f(x) = ax + b (a ̸= 0) có tính chất đoạn thẳng nối hai

điểm bất kỳtrên đồthịchứa trong đồthị. Với đồthịhàm sốbậc hai f(x) = ax2+bx+c

(a > 0) có tính chất đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳtrên đồthịluôn nằm (thực sự)

trên cung của đồthịnối hai điểm này. Những quan sát này dẫn đến câu hỏi sau:

Câu hỏi 1. Những hàm sốf nào có tính chất đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳtrên

đồthịhàm sốy = f(x) luôn nằm (thực sự) trên cung của đồthịnối hai điểm này.

Khi vẽđồthịcác hàm sốđa thức y = f(x) có bậc hai, ba, chúng ta thấy đồthị

không “dao động” và chỉcó hai nhánh hướng ra vô hạn (khi x tiến ra vô hạn) và các

nhánh này hướng đến đường thẳng song song trục tung. Các hàm sốhữu tỉcó tửsố

là đa thức bậc ≤2 và mẫu sốlà đa thức bậc 1 đều không dao động và luôn có một

sốchẵn nhánh hướng ra vô hạn. Câu hỏi tiếp theo là:

Câu hỏi 2. Phải chăng phần đồthịởvô hạn của các hàm sốhữu tỉkhông dao động

và luôn có một sốchẵn nhánh hướng ra vô hạn?

Chúng ta thường giải và biện luận vềnghiệm và sốnghiệm của phương trình

f(x) = t với t là tham sốthực. Nếu f là đa thức bậc hai, thì phương trình f(x) = t

có nhiều nhất 2 nghiệm; hơn nữa dễdàng xác định các nghiệm của phương trình

này (nếu có). Mặt khác, chúng ta biết rằng nói chung không thểtìm nghiệm của các

phương trình đa thức bậc lớn hơn năm. Vấn đềđặt ra là:

1

Câu hỏi 3. Cho hàm sốhữu tỉf. Với những giá trịnào của tham sốt thì phương

trình f(x) = t có nghiệm, không có nghiệm? Sốnghiệm của phương trình phụthuộc

thếnào theo t? Liệu rằng chúng có “ổn định” như đối với các đa thức bậc nhất hoặc

hai?

Bài toán tìm nghiệm (hoặc/và nghiệm nguyên) của các bất phương trình đa thức

cũng thường gặp. Nói chung rất khó đểgiải bài toán này khi bậc đa thức lớn (chẳng

hạn đa thức có bậc ≥5). Một câu hỏi nảy sinh:

Câu hỏi 4. Cho hàm sốhữu tỉf. Với những giá trịnào của tham sốt thì bất phương

trình f(x) ≤t (hoặc |f(x)| ≤t) có nghiệm, không có nghiệm? Sốnghiệm của phương

trình khi t tiến ra vô hạn? Chúng có “ổn định” như đối với các đa thức bậc nhất hoặc

hai?

Mục đích:

Trong đềtài này em tìm hiểu một sốtính chất của hàm sốhữu tỉmột biến. Cụthể

em muốn tìm các câu trảlời cho những câu hỏi nêu trên.

Kết quảđạt được:

Thiết lập những tính chất sau của các hàm sốhữu tỉmột biến:

• Tính lồi, lồi chặt.

• Mô tảhình học (tại vô hạn) của đồthịhàm sốy = f(x).

• Tiệm cận độdài và sốđiểm nguyên của tập dưới mức của hàm sốhữu tỉ.

2