Sử dụng yếu tố Z+ trong việc giải phương trình hàm trên R+ Lê Phúc Lữ

Sửdụng ‘yếu tố’ Z+ trong việc giải phương trình hàm trên R+

Lê Phúc Lữ (GV Đại học Khoa học tựnhiên TPHCM)

Ngày 1 tháng 1 năm 2024

Tóm tắt nội dung Trong bài viết nhỏnày, tác giảmuốn nhắc lại một sốtình huống có thể dùng các tính toán trên tập sốnguyên dương đểhỗtrợcho việc giải phương trình hàm trên tập hợp sốthực dương. Cụthểhơn là về: việc dùng chu kỳ tuần hoàn, phương trình hàm cộng tính và các đánh giá bất đẳng thức khác. 1

1) Giới thiệu

Phương trình hàm trên R+ là một lớp hàm đặc thù và đòi hỏi các kỹthuật biến đổi, đánh giá ởmức độnhất định. Hiện tại các đềbài thi trong và ngoài nước có khai thác các dạng này khá nhiều, có các bài toán khó, thửthách. Trong bài viết này, ta sẽxét một sốcách tiếp cận có liên quan đến yếu tốsốnguyên dương như sau:

• Phương trình hàm cộng tính f(x) + f(y) = f(x + y) trên R+ thì có thểgiải được ra nghiệm f(x) = ax vì lý do trên R+ thì hàm cộng tính cũng sẽđồng biến. Tuy nhiên, nếu như ta không có điều kiện mạnh như cộng tính mà chỉcó điều kiện yếu hơn là f(nx) = nf(x) với x ∈R+ và n ∈Z+ thì sao? Câu trảlời là vẫn sẽgiải được, nhưng cần kết hợp với tính đồng biến. Điều này sẽđược mô tảrõ hơn thông qua các ví dụbên dưới.

• Các phương trình hàm có dùng đến kỹthuật chu kỳtuần hoàn đểchứng minh hàm hằng hoặc tính đơn ánh thì việc xuất hiện của các yếu tốnguyên dương của chu kỳlà tất yếu. Đôi khi ta cần khai thác điều đó khéo léo thì mới xửlý triệt đểđược bài toán.

• Ngoài ra, yếu tốnguyên dương cũng xuất hiện khá bất ngờvà lại có thểdùng trong các bài toán đánh giá các bất đẳng thức trung gian đểgiải phương trình hàm rất hiệu quả. Với tâm lý cho rằng việc chỉchứng minh được f(n) = n với n ∈Z+ thì khó có thểđi đến f(x) = x với x ∈R+ có khi lại làm mất đi cơ hội giải quyết được bài toán.

1Bài viết được trích từKỷyếu của hội thảo Các chuyên đềchuyên sâu Toán THPT 2023, tổ chức tại Vĩnh Long.

1

2) Sửdụng tính chất tuần hoàn

Trước hết, ta xét một sốbài toán có sửdụng đến hàm tuần hoàn, trong đó có dùng đến tính chất sốnguyên lần của chu kỳ. Ta có bổđềquen thuộc sau đây:

Bổđề1. Xét hàm sốf : R+ →R+ và giảsửtồn tại các sốthực a, b, c > 0 sao cho

f(x) ≥cx, ∀x > 0 và f(x + a) = f(x + b), ∀x > 0.

Khi đó, ta phải có a = b.

Chứng minh. Thật vậy, giảsửcó a > b thì f(x) = f(x + a −b) với mọi x > b. Khi đó, hàm sốf tuần hoàn với chu kỳT = a −b > 0. Ta có

f(x) = f(x + T) = f(x + 2T) = · · · = f(x + nT)

với n ∈Z+. Cốđịnh sốx, ta áp dụng đánh giá đềcho thì

f(x) = f(x + nT) ≥c(x + nT) =⇒n ≤f(x) −cx

cT .

Vì x cốđịnh nên vếphải là hằng số, trong khi n có thểlớn tùy ý nên điều trên không thểxảy ra. Tương tựnếu có b > a, vì thếnên a = b.

Chú ý rằng các điều kiện trên không nhất thiết phải đúng với mọi x > 0 mà chỉcần đúng với x > 0 đủlớn. Bổđềnày thường ứng dụng đểchứng minh tính đơn ánh của hàm số. Ta thửáp dụng vào giải quyết bài toán sau đây:

Bài toán 1. (ĐềAPMO 2023)

Với c > 0, tìm tất cảcác hàm sốf : R+ →R+ thỏa mãn điều kiện

f((c + 1)x + f(y)) = f(x + 2y) + 2cx

với mọi x, y > 0.

Lời giải. (theo bạn Đặng Đình Trung, THPT Gia Định TPHCM) Nếu tồn tại y0 > 0 để2y0 −f(y0) < 0, chọn x0 đểcx0 = 2y0 −f(y0), thì thay vào đềbài là có vô lý. Suy ra f(y) ≥2y với mọi y > 0.

Giảsửcó f(a) = f(b) thay y lần lượt bởi a, b, ta được

f((c + 1)x + f(a)) = f(x + 2a) + 2cx,

f((c + 1)x + f(b)) = f(x + 2b) + 2cx.

Do đó, so sánh hai đẳng thức, ta được f(x + 2a) = f(x + 2b) nên áp dụng Bổđề1 đã nêu với chú ý f(x) ≥2x thì có ngay a = b hay f đơn ánh.

Tiếp theo, ta dùng phương pháp thêm biến, thay y bởi (c + 1)y + f(z) thì

f((c + 1)x + f((c + 1)y + f(z))) = f(x + 2(c + 1)y + 2f(z)) + 2cx

2