Đề tham khảo đánh giá tuyển sinh Đại học Công An Nhân Dân năm 2023 môn Toán

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Trang 1

BỘ CÔNG AN MÃ BÀI THI CA1 ĐỀ THI THAM KHẢO

(Đề thi có 01 trang)

BÀI THI ĐÁNH GIÁ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CÔNG AN NHÂN DÂN NĂM 2023

Phần tự luận: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Họ tên thí sinh:…………………………………... Số báo danh:……………………………………..

Câu I. (2 điểm)

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2 6 5 y x x = − +

trên đoạn [ ] 1;2 . −

2) Cho hàm số 4 12 1 x y x − + = + có đồ thị là ( ) C , đường thẳng : 2 d y x m = + . Chứng

minh rằng d cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số . m

Câu II. (2 điểm)

1) Tìm số phức z thỏa mãn 2 2 15 . z z i − = +

2) Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2 3 2 3 2 x f x x x + = + + .

Câu III. (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm ( ) 1;2 I và đường thẳng :3 4 10 0. d x y − + =

Viết phương trình đường tròn ( ) C có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng . d

2) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng 1 3 : 1 1 2 x y z d − − = = − và mặt cầu

( ) 2 2 2 : 2 6 6 0 S x y z x z + + − + − = . Viết phương trình mặt phẳng ( ) P chứa đường thẳng d

sao cho giao tuyến của ( ) P và ( ) S là đường tròn có bán kính nhỏ nhất.

Câu IV. (2 điểm)

1) Cho tập hợp { } 1,2, ,20 A =  gồm 20 số nguyên dương đầu tiên. Lấy ngẫu nhiên

hai số phân biệt từ tập .A Tìm xác suất để tích hai số được chọn là một số chia hết cho 6.

2) Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, ??? ෣= 120o, . AB AC a = = Tam giác SAB vuông tại B, tam giác SAC vuông tại C , góc giữa hai mặt

phẳng ( ) SAB và ( ) ABC bằng o 60 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng

( ). ABC Chứng minh rằng HB vuông góc AB và tính thể tích khối chóp .S ABC theo .a

Câu V. (2 điểm)

1) Tính tích phân

2 2

0

sin d . sin cos x x I x x x x

π

= + ∫

2) Cho các số thực dương ,x y thay đổi thỏa mãn: ( )

2 2 2 2 log log . 2 x x y x y x y + + = +

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 1 1 . = + P x y

--------------------------HẾT--------------------------

Trang 2

HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

ĐỀ THAM KHẢO ĐÁNH GIÁ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CAND NĂM 2023

GIÁO VIÊN: TRƯƠNG VĂN TÂM

Câu I. ( 2 điểm)

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 2 6 5 y x x    trên đoạn   1;2  .

Lời giải

Ta có 2 3 12 y x x   .

Khi đó  

 

2 0 1;2 0 3 12 0

4 1;2

x y x x

x

         

.

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn   1;2  và    1 2, 0 5 y y    ,  2 11 y  nên suy ra

   1;2 min 2 11 y y    .

2. Cho hàm số 4 12 1 x y x    

có đồ thị  C và đường thẳng : 2 d y x m   . Chứng minh rằng d cắt

 C tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số m .

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của d và  C là 4 12 2 1 x x m x     

.   1 x   1

   4 12 2 1 x x m x        2 2 6 12 0 x m x m      .  2

Xét phương trình  2 ta có

      2 2 2 6 4.2. 12 4 132 2 128 0 , m m m m m m             

Suy ra phương trình  2 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .

Lại có      2 2 1 6 1 12 16 0 m m         , m   nên phương trình  2 có hai nghiệm

phân biệt, khác 1  với mọi m .

Do đó phương trình  1 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m , tức là đường thẳng d luôn cắt

đồ thị  C tại hai điểm phân biệt với mọi m .

Câu II. ( 2 điểm)

1. Tìm số phức z thoả mãn 2 2 15 z z i    .

Lời giải

Giả sử số phức cần tìm là z a bi   , với , a b . Suy ra z a bi   .

Theo đề ta có   2 2 15 2 2 15 3 2 15 z z i a bi a bi i a bi i            