Đề thi vào chuyên môn Toán năm 2020 2021 sở GD ĐT Nghệ An (chuyên)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐẠI HỌC VINH

NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: TOÁN (chuyên) Ngày thi 17/7/2020 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (3,0 điểm)

a) Giải phương trình: 2 2 2 1 2 3 3 . x x x x x           

b) Giải hệ phương trình:

3 2 2 2 0

. 1 2 3 4

x x y x y xy y

x y y x

            

Câu 2. (1,5 điểm)

a) Tìm tất cả các số nguyên dương ,x y và số nguyên tố p thỏa mãn 4 4. x p y  

b) Chứng minh rằng nếu , m n là hai số tự nhiên thỏa mãn 2 2 2 3 m m n n    thì 2 2 1 m n   là số chính phương.

Câu 3. (1,0 điểm)

Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn 3. a b c  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

. a b b c c a P c ab a bc b ca         

Câu 4. (3,5 điểm)

Cho tam giác nhọn   ABC AB AC  nội tiếp đường tròn . O Các đường cao , , AD BE CF của tam giác ABC

cắt nhau tại . H

a) Chứng minh BC là đường phân giác của tam giác . DEF

b) Gọi M là giao điểm của đường thẳng EF với đường tròn  O sao cho M nằm trên cung nhỏ . AB 1 2 , O O lần

lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMF và . CEM Chứng minh rằng AM vuông góc với 1 2. O O

c) Lấy điểm K trên đoạn thẳng HC sao cho K khác H và . C Đường thẳng BK cắt đường tròn  O tại điểm

thứ hai là I và đường thẳng CI cắt đường thẳng BE tại điểm . G Chứng minh hệ thức:

. GFB CEF FK BF BE S S FC CF CE               

Trong đó XYZ S là diện tích của tam giác . XYZ

Câu 5. (1,0 điểm)

Trong hình chữ nhất có chiều dài 149 , cm chiều rộng 40 cm cho 2020 điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2 điểm trong số 2020 điểm đã cho mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 2 . cm

-----------------------------------------HẾT-----------------------------------------

------------------

Câu 1.

a) Điều kiện 0. x  Chú ý rằng 2 1 0, 0, x x x   ta có phương trình tương đương:

  

2 2 2

2 2

2

1 1 1 1 2 3 1 0 2 3 5 0

1 1 1 2 5 0 1 2 5 2 0

2 2 5 2 0 . 1 2

x x x x x x x x

x x x x

                                                                                               

Vậy phương trình đã cho có hai nghịm 1 ; 2. 2 x x  

b) Điều kiện:

0

1 . 2 3 4 0

x

y y x

     

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương:

      

2 2 2 2 2 1 1 0 1 0 . 1 y x y x x y x x y x y x y x

             

 Với 1, y x     2 3 4 0 2 1 3 4 0 2, y x x x x         điều này mâu thuẫn với 0. x 

 Với 2 1. y x x    Thay 2 y x  vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

 

 

      

  

 

2 2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

1 2 3 4 2 1 1 2 3 4

2 1 4 3

2 1 3 1 0

3 1 1 0

3 1 0

10 9 0 5 34 1 .

x x x x x x x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x

x x x x

          

    

       

      

  

     

Với 5 34, x  ta có 59 10 34. y  

Vậy hệ cho có nghiệm duy nhất     ; 5 34; 59 10 34 . x y   

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NGHỆ AN

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐẠI HỌC VINH

NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: TOÁN (chuyên) -------------------------

------------------