Giải Tích Nâng Cao 12 - Lớp 12 - Nhà Xuất Bản Giáo Dục

2

Kí hiệu dùng trong sách :

Hn Câu hỏi hoặc hoạt động thứ n trong

bài học.

Kết thúc chứng minh một định lÝ, hệ quả, ví dụ.

.

Bản quyền thuộc Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam  Bộ Giáo dục và Đào tạo

012020/CXBIPH/760869/GD Mã số : NH201T0

4

tính đơn điệu của hàm số

Trong bài này ta sẽ ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu (tức là tính đồng biến và tính nghịch biến) của hàm số.

Tr−ớc hết ta nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến trong sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao.

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và f là hàm số xác định trên K.

Hàm số f đ−ợc gọi là đồng biến trên K nếu 1 2 , x x  K, 1 2 x x   1 2 ( ) ( ) f x f x  ;

Hàm số f đ−ợc gọi là nghịch biến trên K nếu 1 2 , x x   K, 1 2 x x   1 2 ( ) ( ). f x f x 

Nói một cách khác, nếu hàm số f xác định trên K thì Hàm số f đồng biến trên K khi và chỉ khi với x tuỳ ý thuộc K, ta có

( ) ( ) f x x f x x    > 0 với mọi 0   x mà . x x K 

Hàm số f nghịch biến trên K khi và chỉ khi với x tuỳ ý thuộc K, ta có

( ) ( ) f x x f x x    < 0 với mọi 0 x   mà  . x x K

Từ đó, ng−ời ta chứng minh đ−ợc điều sau đây :

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I.

a) Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì '( ) 0 f x  với mọi . x I 

b) Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì '( ) 0 f x  với mọi . x I 

Đảo lại, có thể chứng minh đ−ợc :

1 §

5

Định lÝ

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I.

a) Nếu '( ) 0 f x  với mọi x I  thì hàm số f đồng biến trên khoảng I. b) Nếu '( ) 0 f x  với mọi x I  thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I. c) Nếu '( ) 0 f x  với mọi x I  thì hàm số f không đổi trên khoảng I.

Định lÝ trên cho ta một điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng.

Chú ý

Khoảng I trong định lÝ trên có thể đ−ợc thay bởi một đoạn hoặc một nửa khoảng. Khi đó phải bổ sung giả thiết "Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó". Chẳng hạn :

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b] và có đạo hàm f '(x) > 0 trên

khoảng (a ; b) thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a ; b]. Ng−ời ta th−ờng diễn đạt khẳng định này qua bảng biến thiên nh− sau :

x a b '( ) f x +

( ) f b ( ) f x ( ) f a

Ví dụ 1. Chứng minh rằng hàm số 2 ( ) 1 f x x   nghịch biến trên đoạn [0 ; 1].

Giải

Dễ thấy hàm số đã cho liên tục trên đoạn [0 ; 1]. Ngoài ra,

2 '( ) 0 1

x f x x

   

với mọi x  (0 ; 1). Do đó hàm số nghịch biến trên đoạn [0 ; 1]. 

 Việc tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của một hàm số còn đ−ợc nói gọn là xét chiều biến thiên của hàm số đó.

Qua định lÝ đã nêu, ta thấy việc xét chiều biến thiên của một hàm số có đạo hàm có thể chuyển về việc xét dấu đạo hàm của nó.

6

Ví dụ 2. Xét chiều biến thiên của hàm số

4 . y x x  

Giải

Hàm số đã cho xác định trên tập hợp  \ {0}.

Ta có 'y = 2 4 1 x  =

2

2 4 . x

x



y' = 0  x = 2.

Chiều biến thiên của hàm số đ−ợc nêu trong bảng sau :

x  2  0 2 

'y + 0    0 +

4  y 4

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ; 2)   và (2 ; + ),  nghịch biến trên mỗi khoảng ( 2 ; 0)  và (0 ; 2).

H1 Xét chiều biến thiên của hàm số

3 2 1 3 2 3. 3 2 y x x x    

Ví dụ 3. Xét chiều biến thiên của hàm số

3 2 4 2 3. 3     y x x x

Giải

Hàm số đã cho xác định trên .

Ta có 'y = 2 4 4 1   x x = 2 (2 1) x  .

' 0 y  với 1 2 x  và ' 0 y  với mọi 1 . 2 x 