Giải Tích 12 - Lớp 12 - Nhà Xuất Bản Giáo Dục

(Tái bản lần thứ chín)

Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam

(Tái bản lần thứ m−ời hai)

Nhà xuất bản giáo dục việt nam

Hãy bảo quản, giữ gìn sách giáo khoa để dành tặng cho các em học sinh lớp sau !

Kí hiệu dùng trong sách

Phần hoạt động của học sinh. Tuỳ đối t−ợng cô thể mà giáo viên sử dụng.  Kết thúc phần chứng minh.

Bản quyền thuộc Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam  Bộ Giáo dục và Đào tạo

01  2020/CXBIPH/616  869/GD Mã số : CH201T0

4

sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

I  Tính đơn điệu của hàm số

1 Từ đồ thị (H.1, H.2) hãy chỉ ra các khoảng tăng, giảm của hàm số y = cosx trên

đoạn 3 ; 2 2          và của hàm số y x  trên khoảng ( ; ).  

Hình 1 Hình 2

1. Nhắc lại định nghĩa

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là

1x < 2 x  f( 1x ) < 2 ( ) f x ;

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp 1 2 , x x

thuộc K mà 1x nhỏ hơn 2 x thì 1 ( ) f x lớn hơn 2 ( ) f x , tức là

1x < 2 x  1 2 ( ) ( ) f x f x  .

5

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K đ−ợc gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

Nhận xét. Từ định nghĩa trên ta thấy

a) f(x) đồng biến trên K  2 1

2 1

( ) ( ) f x f x x x   > 0, 1, x  2 x K 

1 2 ( ) x x  ;

f(x) nghịch biến trên K  2 1

2 1

( ) ( ) f x f x x x   < 0, 1, x  2 x K 

1 2 ( ) x x  .

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (H.3a) ; Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (H.3b).

a) b) Hình 3

2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

2 Xét các hàm số sau và đồ thị của chúng :

a)

2

2 x y  (H.4a) b) 1 y x  (H.4b)

x  0 + x  0 +

y' y'

y



0



y 0



+

0

6

a) b) Hình 4

Xét dấu đạo hàm của mỗi hàm số và điền vào bảng t−ơng ứng. Từ đó hãy nêu nhận xét về mối quan hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và dấu của đạo hàm.

Ta thừa nhận định lÝ sau đây.

Định lÝ

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. a) Nếu '( ) 0 f x  với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K. b) Nếu '( ) 0 f x  với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

Tóm lại, trên K '( ) 0 ( ) đồng biến '( ) 0 ( ) nghịch biến. f x f x       

f x f x

Chú ý

Nếu f '(x) = 0, x  K thì f(x) không đổi trên K.

Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số :

a) y = 4 2 1 x  ; b) y = sinx trên khoảng (0 ; 2). Giải a) Hàm số đã cho xác định với mọi x  . 

Ta có 3 ' 8 y x  . Bảng biến thiên

x  0 + y'  0 +

y + 1 +

7

Vậy hàm số y = 4 2x + 1 nghịch biến trên khoảng ( ; 0), đồng biến trên khoảng (0 ; +). b) Xét trên khoảng (0 ; 2), ta có ' cos . y x 

Bảng biến thiên

x 0 2  3 2  2

' cos y x  + 0  0 +

y = sinx

0

1

1

0

Vậy hàm số y = sinx đồng biến trên các khoảng 0 ; 2        và 3 ; 2 2         ,

nghịch biến trên khoảng 3 ; . 2 2        

3 Khẳng định ng−ợc lại với định lÝ trên có đúng không ? Nói cách khác, nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K thì đạo hàm của nó có nhất thiết phải d−ơng (âm) trên đó hay không ?

Chẳng hạn, xét hàm số 3 y x  có đồ thị trên Hình 5.

Hình 5

Chú ý

Ta có định lÝ mở rộng sau đây.

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu '( ) 0 f x  ( '( ) 0),  f x x K  và '( ) 0 f x  chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.

Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số 3 2 2 6 6 7. y x x x    

Giải. Hàm số đã cho xác định với mọi x  . 

Ta có y' = 2 2 6 12 6 6( 1) . x x x    