Lời giải bài toán bất đẳng thức, cực trị trong đề tuyển sinh môn Toán

THCS.TOANMATH.com FB TRỊNH BÌNH

1

ĐÁP ÁN CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ

TRONG ĐỀ CHUYÊN MÔN TOÁN GIAI ĐOẠN 2009-2019

NĂM HỌC 2019-2020

Câu 1: [TS10 Chuyên KHTN Hà Nội, 2019-2020]

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn:

2 2 4x 4y 17xy 5x 5y 1     

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 P 17x 17y 16xy   

Lời giải

Ta có:     2 2 2 4x 4y 17xy 5x 5y 1 4 x y 9xy 5 x y 1           

Đặt t x y, t 0    , theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

 

2 2 x y t xy . 4 4

   Do đó: 2 2 9 2 2 2 4t t 5t 1 t 4 5      hay 2 2 2 x y . 5   

Ta có:   2 2 2 P 17x 17y 16xy 17 x y 18xy      

     

2 2 2 2 x y 25 25 2 2 2 17 x y 18 x y 6 4 2 4 4 4 5

                 

Dấu “=” xảy ra khi 2 1 x y 5   

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6 4 2 

Câu 2: [TS10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội, 2019-2020]

Cho các số thực x, y thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

   2 2 P xy x 2 y 6 13x 4y 26x 24y 46        

Lời giải

Ta có:

         

       

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

P xy x 2 y 6 13x 4y 26x 24y 46

x 2x y 6y 13 x 2x 4 y 6y 46

x 1 1 y 3 9 13 x 1 1 4 y 3 9 46

       

       

                                

Đặt a x 1, b y 3     , khi đó:

       2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 P a 1 b 9 13 a 1 4 b 9 46

a b 9a b 9 13a 13 4b 36 46

       

        

THCS.TOANMATH.com FB TRỊNH BÌNH

2

2 2 2 2 4a 3b a b 6 6     

Dấu “=” xảy ra khi a 0 x 1 0 x 1,y 3 b 0 y 3 0             

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6.

Câu 3: [TS10 Chuyên Tin Hà Nội, 2019-2020]

Cho a, b, c dương thỏa mãn: ab bc ca abc 4    

1) Chứng minh rằng: 1 1 1 1 a 2 b 2 c 2      

2) Tìm giá trị nhỏ nhất:

      2 2 2 2 2 2 1 1 1 P . 2 a b 4 2 b c 4 2 c a 4         

Lời giải

1) Ta có:

               

1 1 1 1 a 2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 c 2 b 2 a 2 a 2 b 2 c 2

ab bc ca 4 a b c 12 abc 2 ab bc ca 4 a b c 8

4 ab bc ca.

                  

              

   

Đẳng thức cuối cùng đúng theo giả thiết, các phép biến đổi l| tương đương,

do đó đẳng thức đã cho được chứng minh.

2) Với x, y dương ta có bất đẳng thức:

   2 2 2 2 x y x y    (*)

1 1 1 1 x y 4 x y         

(**)

Thật vậy:

   2 * x y 0    (luôn đúng)

      2 2 x y 1 * * x y 4xy x y 0 4xy x y           (luôn đúng)

Các bất đẳng thức (*), (**) xảy ra dấu “=” khi x = y.

Lần lượt áp dụng (*) và (**) ta có:

     2 2 1 1 1 1 1 1 a b 4 4 a 2 b 2 a 2 b 2 2 a b 4

                  

Tương tự:

    2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; 4 b 2 c 2 4 c 2 a 2 2 b c 4 2 c a 4

                       

Cộng theo vế ta được:

THCS.TOANMATH.com FB TRỊNH BÌNH

3

1 1 1 1 1 1 P .1 . 2 a 2 b 2 c 2 2 2              

D}u “=” xảy ra khi a = b = c

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 2 Câu 4: [TS10 Chuyên Toán Hà Nội, 2019-2020]

Cho K ab 4ac 4bc    với a,b,c 0  và a + b + 2c = 1.

1) Chứng minh rằng: 1 K 2 

2) Tìm giá trị lớn nhất của K.

Lời giải

1) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

2 2 b 2c a b 2c 1 1 4bc 2 2 4bc 2 2 2 2                    

Mặt khác: 1 a,b,c 0 K ab 4ac 4bc 4bc 2       

Dấu “=” xảy ra khi 1 1 a 0,b ,c . 2 4   

Cách khác:

Ta có:

          

2 2

2 2

K ab 4c a b ab 2 1 a b a b

ab 2 a b 2 a b

2b a 2 b 2a 2a

       

    

    

Do đó:    2 2 2b a 2 b 2a 2a K 0 *      

Để tồn tại K thì phương trình (*) Phải có 2 nghiệm:

    2 2

2 0 a 2 4.2. 2a 2a K 0

8K 20a 17a 4.

      

    Vì a,b,c 0  và a b 2c 1 0 a 1      . Do đó:     2 2a 17a a 20 17a a 20 17.1 3a 0       

Do đó 1 8K 4 K 2  

Dấu “=” xảy ra khi 1 1 a 0,b ,c . 2 4   

2) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

 

2 a b 2c 1 a b 2c . 2 4           