Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

2

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

A. KiÕn thøc cÇn nhí

1. Giải phương trình nghiệm nguyên.

Giải phương trình f(x, y, z, ...) = 0 chứa các ẩn x, y, z, ... với nghiệm nguyên là tìm tất

cả các bộ số nguyên (x, y, z, ...) thỏa mãn phương trình đó.

2. Một số lưu ý khi giải phương trình nghiệm nguyên.

Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về

chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt của các ẩn số cũng như các biểu

thức chứa ẩn trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách

giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn. Các phương pháp thường dùng để

giải phương trình nghiệm nguyên là:

Phương pháp dùng tính chất chia hết

Phương pháp xét số dư từng vế

Phương pháp sử dụng bất đẳng thức

Phương pháp dùng tính chất của số chính phương

Phương pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn.

B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

I. PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT

Dạng 1: Phát hiện tính chia hết của một ẩn

Bài toán 1. Giải phương trình nghiệm nguyên

Hướng dẫn giải

Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình (1). Ta thấy 159 và 3x đều chia hết cho 3 nên (do 17 và 3 nguyên tố cùng nhau).

Đặt thay vào phương trình ta được

Do đó: . Thử lại ta thấy thỏa mãn phương trình đã cho

Vậy phương trình có nghiệm (x, y) = (53 – 17t, 3t) với t là số nguyên tùy ý.

•

•

•

•

•

( ) 3x 17y 159 1 + =

17y 3 y 3 ⇒  

( ) y 3t t Z = ∈ 3x 17.3t 159 x 17t 53. + = ⇔ + =

( ) x 53 17t t Z y 3t

= − ∈  = 

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

3

Bài toán 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình (1).

Hướng dẫn giải

- Phương pháp 1: Ta có và nên (vì (2,3) = 1).

Đặt thay vào (1) ta được:

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:

- Phương pháp 2: Từ (1) ,

Để Mà (13,2) = 1 Đặt

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:

Chú ý: Phương trình có dạng với a,b,c là các số nguyên. * Phương pháp giải:

- Phương pháp 1: Xét tính chia hết của các hạng tử.

- Phương pháp 2: Khử ẩn, sử dụng tính chia hết tìm điều kiện để một phân số trở thành số nguyên.

Bài toán 3. Giải phương trình nghiệm nguyên .

Hướng dẫn giải

Ta có

Ta phải biến đổi tiếp phân số để sao cho hệ số của biến y là 1.

Phân tích: Ta thêm, bớt vào tử số một bội thích hợp của 23

Từ đó , Để , do (7,23) = 1.

Đặt − = ∈ ⇒ = − 9 y 23t (t Z) y 9 23t

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là:

2x 13y 156 + =

13y 13  156 13  2x 13 x 13 ⇒  

x 13k (k Z) = ∈ y 2k 12 = − +

x 13k (k Z). y 2k 12

= ∈  = − + 

156 13y 13y x 78 2 2 − ⇒ = = −

13y x Z Z 2 ∈ ⇒ ∈ y 2 ⇒  y 2t(t Z) x 78 13t = ∈ ⇒ = −

x 78 13t(t Z). y 2t

= − ∈  = − 

ax by c + =

23x 53y 109 + =

109 53y 23(4 2y) 17 7y 17 7y x 4 2y 23 23 23 − − + − − = = = − +

17 7y 23 −

17 7y 17 7y 46 46 7(9 y) 46 7(9 y) 2 23 23 23 23 − − + − − − − = = = −+

7(9 y) x 2 2y 23 − = − + 9 y x Z Z 23 − ∈ ⇒ ∈

x 9 23t (t Z). y 53t 16 = − ∈  = − 

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

4

Bài toán 4. Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Hướng dẫn giải

Ta thấy suy ra thay vào (1) rút gọn ta được:

Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (là y) theo k ta được:

Tách riêng giá trị nguyên của biểu thức này:

Lại đặt: .

Do đó:

Thay các biểu thức trên vào phương trình (1) thấy thỏa mãn

Vậy nghiệm của phưng trình là (x, y) = (18t + 6; 3-11t) với t

Chú ý: a) Nếu đề bài yêu cầu tìm nghiệm nguyên dương của phương trình (1) thì sau khi tìm được nghiệm tổng quát ta có thể giải điều kiện:

Do đó t = 0 do t là số nguyên. Nghiệm nguyên dương của (1) là (x, y) = (6, 3).

Trong trường hợp tìm nghiệm nguyên dương của (1) ta còn có thể giải như sau: 11x + 18y = 120

Do nên

Do x nguyên nên . Mặt khác và x nguyên dương nên x = 6

b) Có nhiều cách tách giá trị nguyên của biểu thức chẳng hạn:

(cách 1)

(cách 2)

(cách 3)

Ta thấy: - Cách 1 gọn hơn cách 2 vì ở cách 1 hệ số của k trong phân thức bằng 1, do đó sau khi đặt

ta không cần thêm một ẩn phụ nào nữa

- Trong cách 3, nhờ đặt được thừa số chung mà hệ số của k của phần phân số bằng -1, do đó sau …