Sử dụng nguyên lí Dirichle chứng minh bất đẳng thức Nguyễn Tài Chung

1 2020 Bồi dưỡng HSG THCS và ôn thi vào 10 chuyên Bồi dưỡng HSG THCS và ôn thi vào 10 chuyên

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14 15

16

17

18

19

20 21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

=== NGUYỄN TÀI CHUNG ===

Sửdụng nguyên lí Dirichle Sửdụng nguyên lí Dirichle Sửdụng nguyên lí Dirichle Sửdụng nguyên lí Dirichle Sửdụng nguyên lí Dirichle Sửdụng nguyên lí Dirichle Sửdụng nguyên lí Dirichle Sửdụng nguyên lí Dirichle Sửdụng nguyên lí Dirichle Sửdụng nguyên lí Dirichle Sửdụng nguyên lí Dirichle Sửdụng nguyên lí Dirichle Sửdụng nguyên lí Dirichle Sửdụng nguyên lí Dirichle

chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh chứng minh

bất đẳng thức bất đẳng thức bất đẳng thức

π

Pleiku 24/05/2020

1 |Biên soạn: Nguyễn Tài Chung, GV THPT Chuyên Hùng Vương, ĐT 0968774679

MỤC LỤC

A Lý thuyết và ví dụgiải toán 2

B Bài tập 5

1 Đềbài 5

2 Lời giải 8

MỤC LỤC |Chuyên đềbồi dưỡng học sinh giỏi THCS và ôn thi vào 10 chuyên

2 |Biên soạn: Nguyễn Tài Chung, GV THPT Chuyên Hùng Vương, ĐT 0968774679

SỬDỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLE TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤGIẢI TOÁN

Nếu nhốt 3 con chim BồCâu vào trong 2 cái chuồng thì bao giờcũng có một chuồng chứa ít nhất 2 con chim BồCâu. Khẳng định gần như hiển nhiên này được gọi là Nguyên lý Dirichle. Bây giờta hình dung trên trục số, điểm 0 chia trục sốthành 2 phần, hay 2 cái chuồng mà vách ngăn là số0.

Như thếvới ba sốa, b, c mà ta xem như là 3 con chim BồCâu thì sẽcó một cái chuồng chứa ít nhất hai con chim BồCâu, nghĩa là sẽ

0

+∞ −∞

có hai sốcùng không âm (tức là có hai con chim BồCâu cùng thuộc chuồng [0; +∞)) hoặc cùng không dương (tức là có hai con chim BồCâu cùng thuộc chuồng (−∞; 0]). Do đó ta có thểgiảsửcó hai số, mà ta gọi là a và b, sao cho ab ≥0. Như vậy, trong bài toán bất đẳng thức, khi ta đã chọn được “điểm rơi” (tức là đẳng thức của bài toán), ví dụnhư đẳng thức xảy ra khi a = b = c = k thì ta có thểgiảsử2 số(a −k), (b −k) cùng không âm hoặc cùng không dương, tức là có thểgiảsử(a −k)(b −k) ≥0. Bài 1. Cho a, b, c là các sốthực không âm bất kì. Chứng minh rằng

a2 + b2 + c2 + 2abc + 1 ≥2 (ab + bc + ca) .

L Lời giải Cách 1. Ta có sựtương đương

a2 + b2 + c2 + 2abc + 1 ≥2 (ab + bc + ca)

⇔ a2 −2ab + b2 + c2 −2c + 1 + 2abc −2ac −2bc + 2c ≥0

⇔(a −b)2 + (c −1)2 + 2c (a −1) (b −1) ≥0.

Theo nguyên lí Dirichlet, trong ba sốa −1; b −1; c −1 luôn tồn tại hai sốkhông âm hoặc cùng không dương. Không mất tính tổng quát, ta giảsử(a −1) (b −1) ≥0. Khi đó 2c (a −1) (b −1) ≥0. Vậy ta được điều phải chứng minh. Cách 2. không mất tính tổng quát, giảsử(a −1)(b −1) ≥0 thì

ab ≥a + b −1 ⇒2abc ≥2ac + 2bc −2c.

Suy ra

a2 + b2 + c2 + 2abc + 1 ≥a2 + b2 + c2 + 2ac + 2bc −2c + 1

≥2ab + (c −1)2 + 2ac + 2bc ≥2(ab + bc + ca).

Do đó, ta có điều phải chứng minh. Lưu ý. Bạn đọc cần lưu ý bài toán 1 này, kết quảcủa nó còn được sửdụng trong một số bài toán khác, chẳng hạn như bài toán 5 ởtrang 5, bài toán 7 ởtrang 5.