Các bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng ba đường thẳng đồng quy

Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC

2

CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH

BA ĐIỂM THẲNG HÀNG - BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

A. CÁC BÀI TOÁN VỀ BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

I. Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng

Phương pháp 1: Sử dụng góc bù nhau

Nếu có 0 180   ABx xBC thì 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó.

Phương pháp 2: Sử dụng tiên đề về đường thẳng song song

Tiên đề Ơclít: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ kẻ được duy nhất một đường thẳng

song song với đường thẳng đã cho. Do đó, nếu qua điểm A ta kẻ được AB và AC cùng song song

với một đường thẳng d nào đó thì A, B, C thẳng hàng.

Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh AB và AC cùng song song với

một đườngthẳng d.

Phương pháp 3: Sử dụng tiên đề về đường thẳng vuông góc

Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta đi chứng minh AB và AC cùng vuông góc với

một đường thẳng d.

Phương pháp 4: Sử dụng 2 tia trùng nhau hoặc đối nhau

Nếu hai tia MA, MB trùng nhau hoặc đối nhau thì 3 điểm M, A, B thẳng hàng.

Phương pháp 5: Thêm điểm

Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng có thể xác định thêm điểm D khác A, B, C sau đó

chứng minh hai trong ba bộ ba điểm A, B, D; A, C, D; B, C, D thẳng hàng.

Phương pháp 6: Phương pháp sử dụng hình đuy nhất

Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng với C thuộc hình H nào đó. Ta gọi C’ là giao điểm

của AB với hình H và tìm cánh chứng minh hai điểm C và C’ trùng nhau.

Phương pháp 7: Sử dụng định lý Menelaus

Cho tam giác ABC. Các điểm A’, B’, C’ lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB sao

cho trong chúng hoặc không có điểm nào, hoặc có đúng 2 điểm thuộc các cạnh của tam giác ABC.

Khi đó A’, B’, C’ thẳng hàng khi và chỉ khi ' ' ' . . 1 ' ' '  A B B C C A A C B A C B

Chứng minh

Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC

3

+ Trường hợp 1: Trong 3 điểm A’, B’, C’ có đúng 2 điểm thuộc cạnh tam gi{c ABC. Giả sử

l| B’, C’

- Điều kiện cần: Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng B’C’ tại M.

Ta có C'A AM B'C A'C ; C' B A' B B' A AM   . Vậy A'B B'C C' A AM A'C A' B . . . . 1 A'C B' A C' B A' B AM A'C  

- Điều kiện đủ: Gọi A’’ l| giao của B’C’ với BC.

[p dụng định lý Menelaus (phần thuận) ta có A''B B'C C' A . . 1 A''C B' A C' B  mà A'B B'C C' A . . 1 A'C B' A C' B 

nên A''B A' B A''C A'C  . Do B’, C’ lần lượt thuộc cạnh CA, AB nên A’’ nằm ngo|i cạnh BC.

Vậy A''B A' B A''C A'C  v| A’, A’’ nằm ngo|i cạnh BC suy ra A'' A'  . Do đó A’, B’, C’ thẳng

hàng

+ Trường hợp 2: Trong 3 điểm A’, B’, C’ không có điểm thuộc cạnh tam gi{c ABC được

chứng minh tương tự.

II. Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình thang ABCD có AB//CD. Gọi O l| giao điểm của hai đường chéo AC v|

BD. Gọi M, N, P lần lượt l| trung điểm của AB, BC, AD. Gọi E l| trung điểm của PN.

Chứng minh rằng ba điểm M, O, E thẳng h|ng.

Phân tích tìm lời giải

Trên cơ sở hình vẽ v| c{c yếu tố trung điểm ta nhận thấy nếu gọi K l| trung điểm

của CD thì tứ gi{c MNKP l| hình bình h|nh, khi đó ba điểm M, O, E thẳng h|ng. Để có

được M, O, E ta cần chỉ ta được M, K, O thẳng h|ng. Do O l| giao điểm của hai đường

chéo nên ta thấy có c{c tam gi{c đồng dạng. Do đó rất tự nhiên ta nghĩ đến chứng minh

0 KOM 180  .

Lời giải

Gọi K l| trung điểm của CD. Khi đó trong tam gi{c ABD có M v| P l| trung điểm của AB

v| AD nên PM l| đường trung bình, do đó PM//BD và 1 PM BD 2  .

Từ đó suy ra tứ gi{c MNKP l| hình bình

h|nh, do đó hai đường chéo NP v| MK cắt

nhau tại E hay ba điểm M, K, E thẳng h|ng .

Dễ thấy hai tam gi{c OAB v| OCD đồng

dạng nên ta được OA AB OC CD  . M| lại có

E

O

P

K

N

M

D C

B A