Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

1

BẤT ĐẲNG THỨC I. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI .............................................................................................................................. 2

DẠNG 1: DẠNG TỔNG SANG TÍCH ........................................................................................................... 2

DẠNG 2: DẠNG TÍCH SANG TỔNG, NHÂN BẰNG SỐ THÍCH HỢP. ................................................ 3

DẠNG 3: QUA MỘT BƢỚC BIẾN ĐỔI RỒI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI .............................. 4

DẠNG 4: GHÉP CẶP ĐÔI ............................................................................................................................... 7

DẠNG 5: DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI TÁCH THÍCH HỢP ........................................................................ 7

DẠNG 6: KẾT HỢP ĐẶT ẨN PHỤ VÀ DỰ ĐOÁN KÊT QUẢ ............................................................... 10

DẠNG 7: TÌM LẠI ĐIỀU KIỆN CỦA ẨN .................................................................................................... 13

II. BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA ................................................................................................................... 15

III. PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG ................................................................................... 18

DẠNG 1: ĐƢA VỀ BÌNH PHƢƠNG ............................................................................................................ 18

DẠNG 2: TẠO RA BẬC HAI BẰNG CÁCH NHÂN HAI BẬC MỘT .................................................... 20

DẠNG 3: TẠO RA ab+bc+ca .......................................................................................................................... 22

DẠNG 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT TRONG BA SỐ BẤT KÌ LUÔN TÒN TẠI HAI SỐ CÓ TÍCH KHÔNG ÂM..................................................................................................................................................... 22

DẠNG 5: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ BỊ CHẶN TỪ 0 ĐẾN 1 ............................................ 25

DẠNG 6 : DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI XÉT HIỆU ...................................................................................... 27

HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ ................................................................................. 75

I. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI ....................................................................................................................... 75

II. BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA ............................................................................................................... 77

III. PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG ................................................................................... 77

2

I. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI 1. Dạng hai số không âm ,x y

 Dạng tổng sang tích: 2 x y xy   .

 Dạng tích sang tổng: 2 x y xy   hay

2

2 x y xy       

.

 Dạng lũy thừa: 2 2 2 x y xy   hay

2 2

2 x y xy   .

Dấu " "  xảy ra x y   .

 Dạng đặc biệt:

2 1 .1 2 x x x    .

2. Dạng ba số không âm , , x y z

 Dạng tổng sang tích: 3 3 x y z xyz    .

 Dạng tích sang tổng: 3

3 x y z xyz    hay

3

3 x y z xyz        

.

 Dạng lũy thừa: 3 3 3 3 x y z xyz    hay

3 3 3

3 x y z xyz    .

Dấu " "  xảy ra x y z    .

 Dạng đặc biệt:

3 1 1 .1.1 3 x x x    .

3. Dạng tổng quát với n số không âm 1 2 , ,..., n x x x

 Dạng tổng sang tích: 1 2 1 2 ... ... n n n x x x n x x x     .

 Dạng tích sang tổng: 1 2 1 2

... ... n n

n

x x x x x x n     hay 1 2 1 2

... ...

n n n

x x x x x x n         

.

 Dạng lũy thừa: 1 2 1 2 ... ... n n n n n x x x x x x     hay 1 2 1 2

... ...

n n n n n

x x x x x x n     .

Dấu " "  xảy ra 1 2 ... n x x x     .

 Dạng đặc biệt:

1

1 .1.1...1

n

n

x n x x n 

    .

4. Bất đẳng thức trung gian

 1 1 4 0, 0 x y x y x y      . Dấu " "  xảy ra x y   .

 1 1 1 9 0, 0, 0 x y z x y z x y z         . Dấu " "  xảy ra x y z    .

DẠNG …