Các bài toán số học tuyển chọn từ các đề tuyển sinh chuyên Toán

LATEX by Mathpiad

TUYỂN TẬP SỐHỌC TRONG KÌ THI CHUYÊN TOÁN 2020 −2021

Mathpiad −Tạp chí và tư liệu toán học

Phan Quang Đạt −Nguyễn Nhất Huy −Dương Quỳnh Châu

LATEX by Mathpiad

Chương I

Một sốkiến thức sửdụng trong tài liệu

1 Các định nghĩa ngoài sách giáo khoa.

† Sốchính phương là sốcó thểbiểu diễn dưới dạng bình phương của một sốtự nhiên.

† Sốlập phương là sốcó thểbiểu diễn dưới dạng lập phương của một sốnguyên.

2 Các kí hiệu, quy ước ngoài sách giáo khoa.

† Kí hiệu a | b dùng thay cho mệnh đề"a là ước của b", và đọc là "a chia hết b".

† Kí hiệu (a,b) dùng đểchỉước chung lớn nhất của a và b. Đôi lúc, nó còn dùng đểchỉcặp số(a,b), vì thếcần phân biệt rõ.

† Kí hiệu a ≡b (mod m) dùng thay cho mệnh đề"a và b có cùng sốdư khi chia cho m", và đọc là "a đồng dư với b theo modulo m".

3 Các hằng đẳng thức mởrộng.

† (A+B+C)2 = A2 +B2 +C2 +2AB+2BC +2CA.

† A3 +B3 +C3 −3ABC = (A+B+C) A2 +B2 +C2 −AB−BC −CA .

4 Các tính chất vềước chung lớn nhất.

a) Với các sốnguyên a,b,c khác 0 thỏa mãn c | ab và (a,c) = 1, ta có thểsuy ra c | b.

b) Với các sốnguyên a,b,c khác 0 thỏa mãn ab = c2, và (a,c) = 1, ta có |a| và |b| là hai sốchính phương.

c) Với các sốnguyên a,b,c khác 0 thỏa mãn ab = c3, và (a,c) = 1, ta có a và b là hai sốlập phương.

5 Các tính chất vềđồng dư thức và chia hết.

(a) Tính chia hết của tổng, tích các sốnguyên liên tiếp.

† Tổng của n sốnguyên liên tiếp luôn chia hết cho n. † Tích của n sốnguyên liên tiếp luôn chia hết cho n!, ởđây n! là tích của tất cảcác sốtựnhiên từ1 đến n.

3

LATEX by Mathpiad

CHƯƠNG I. MỘT SỐKIẾN THỨC SỬDỤNG TRONG TÀI LIỆU

(b) Nếu a ≡b (mod m), ta có thểsuy ra

† m | (a−b). † a+c ≡b+c (mod m), với c là một sốnguyên. † ac ≡bc (mod m), với c là một sốnguyên.

† a

n ≡b

n (mod m

n ), với n là một ước chung nào đó của a,b,m.

† an ≡bn (mod m).

(c) Một sốchính phương bất kì chỉcó thể

† Đồng dư với 0 hoặc 1 theo modulo 3. † Đồng dư với 0 hoặc 1 theo modulo 4. † Đồng dư với 0,1 hoặc 4 theo modulo 8.

(d) Định lý Fermat nhỏ. Cho p là sốnguyên tốvà a là sốnguyên dương thỏa mãn a không chia hết cho p, khi đó

ap−1 ≡1 (mod p).

6 Bổđềkẹp.

Giữa hai lũy thừa sốmũ n liên tiếp, không tồn tại một lũy thừa cơ sốn nào. Hệquả, với mọi sốnguyên a

† Không có sốchính phương nào nằm giữa a2 và (a+1)2 .

† Sốchính phương duy nhất nằm giữa a2 và (a+2)2 là (a+1)2 .

† Có đúng k −1 sốchính phương nằm giữa a2 và (a+k)2 , đó là

(a+1)2 ,(a+2)2 ,...,(a+k −1)2 .

7 Bổđềvềnghiệm nguyên của phương trình bậc hai.

Nếu phương trình bậc hai với hệsốnguyên ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm nguyên (không nhất thiết phân biệt) thì ∆= b2 −4ac là sốchính phương.

4

LATEX by Mathpiad

Chương II

Giới thiệu một sốbài toán sốhọc trong đềthi vào lớp 10 chuyên Toán

Câu 1.

1 Tìm tất cảsốtựnhiên n sao cho (2n+1)3 +1 chia hết cho 22021.

2 Cho sốtựnhiên n và sốnguyên tốp sao cho a = 2n+2

p và b = 4n2 +2n+1

p là các số

nguyên. Chứng minh rằng a và b không đồng thời là các sốchính phương.

Chuyên Phổthông Năng khiếu - ĐHQG thành phốHồChí Minh

Câu 2. Tìm tất cảcác sốnguyên dương m,n thỏa mãn m(m+1)(m+2) = n2.

Hà Tĩnh

Câu 3.

1 Tìm tất cảcác nghiệm (x;y) của phương trình x2 −2x+2y = 2(xy+1).

2 Cho p là sốnguyên tốsao cho tồn tại các sốnguyên dương x,y thỏa mãn x3 +y3 −p = 6xy−8. Tìm giá trịlớn nhất của p.

Lào Cai

Câu 4. Tìm tất cảbộba sốnguyên tố(p,q,r) thỏa mãn pq = r +1 và 2 p2 +q2 = r2 +1.

Quảng Nam

Câu 5. Tìm tất cảsốtựnhiên a và b với lớn hơn 1 sao cho (a−1)(b−1) | (ab−1).

Chuyên Đại học Khoa học Huế

Câu 6. Giảsửn là sốtựnhiên thỏa mãn điều kiện n(n+1)+7 không chia hết cho 7. Chứng minh rằng 4n3 −5n−1 không là sốchính phương.

Thái Bình

5