Tuyển chọn các bài toán về bất đẳng thức và cực trị hình học

348

TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN

VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC

I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác

Định lí 1: Cho tam giác ABC. Nếu   ≥ ABC ACB thì ≥ AC AB và ngược lại.

Định lí 2: Cho hai tam giác ABC và MNP có = AB MN và = AC MP. Khi đó ta có bất đẳng

thức

  ≥ ⇔ ≥ BAC NMP BC NP

Định lí 3: Trong tam giác ABC ta có:

+ Nếu = 0 A 90 thì = + 2 2 2 BC AB AC

+ Nếu > 0 A 90 thì > + 2 2 2 BC AB AC

+ Nếu < 0 A 90 thì < + 2 2 2 BC AB AC

Định lí 4: Với mọi tam giác ABC ta luôn có:

 − < < +  − < < +   − < < + 

AB AC BC AB AC

AC BC AB AC BC

BC AB AC BC AB

Hệ quả: Cho n điểm 1 2 3 n A ;A ;A ;...;A . Khi đó ta luôn có − + + + ≥ 1 2 2 3 n 1 n 1 n A A A A ... A A A A

Dấu bằng xẩy ra n điểm 1 2 3 n A ;A ;A ;...;A thẳng hàng và sắp xếp theo thứ tự đó.

Định lí 5: Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Khi đó ta có

+ Nếu = 0 A 90 thì = 1 AM BC 2

+ Nếu > 0 A 90 thì < 1 AM BC 2

+ Nếu < 0 A 90 thì > 1 AM BC 2 2. Quan hệ giữa đường xiên, đường vuông góc và hình chiếu của đường xiên.

Định lí 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường

thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Định lí 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường

thẳng đó:

• Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn

• Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

349

• Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, và ngược lại, nếu

hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.

3. Các bất đẳng thức trong đường tròn.

Định lí 1: Trong một đường tròn thì đường kính là dây lớn nhất.

Định lí 2: Trong một đường tròn:

• Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm và ngược lại.

• Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn và ngược lại.

Định lí 3: Bán kính của hai đường tròn là ≥ R r , còn khoảng cách giữa tâm của chúng là d.

Điều kiện cần và đủ để hai đường tròn đó cắt nhau là ≤ ≤ + R – r d R r

Định lí 4: Cho đường tròn (O; R) và một điểm M bất kì nằm trong đường tròn. Khi đó ta

có

≤ ≤ + R – d MN R d

Với N là điểm bất kì trên đường tròn và d là khoảng cách từ M tới tâm đường

tròn.

Định lí 5: Cho đường tròn (O; R) và một điểm M bất kì ngoài đường tròn. Khi đó ta có

≤ ≤ + d – R MN d R

Với N là điểm bất kì trên đường tròn và d là khoảng cách từ M tới tâm đường

tròn.

4. Các bất đẳng thức về diện tích.

Định lí 1: Với mọi tam giác ABC ta luôn có ≤ ABC 1 S AB.AC 2 , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ

khi tam giác ABC vuông tại A

Định lí 2 : Với mọi tứ giác ABC ta luôn có ≤ ABCD 1 S AC.BD 2 , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ

khi AC vuông góc với BD.

Định lí 3: Với mọi tứ giác ABCD ta luôn có ( ) ≤ + ABCD 1 S AB.BC AD.DC 2 , dấu bằng xẩy ra

khi và chỉ khi   = = 0 B D 90 . 5. Một số bất đẳng thức đại số thường dùng

• Với x, y là các số thực dương , ta luôn có

( ) ( ) + ≥ + ≥ + 2 2 2 2 2 x y 2xy; 2 x y x y , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi = x y

• Với x, y, z là các số thực dương , ta luôn có

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC