Một số bài toán về diện tích

450

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DIỆN TÍCH

I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Các tính chất cơ bản của diện tích đa giác

Mỗi đa giác có một diện tích xác định, diện tích đa giác là một số dương. Diện tích

đa giác có các tính chất sau:

+ Hai đa giác bằng nhau có diện tích bằng nhau.

+ Hình vuông cạnh có độ dài bằng 1(đvđd) thì diện tích là 1(đvdt), hình vuông đó

được gọi là hình vuông đơn vị.

+ Nếu đa giác H được chia thành các đa giác 1 2 n H ;H ;...;H đôi một không có điểm

chung trong. Khi đó ta được = + + + 1 2 n H H H H S S S ... S

+ Nếu một đa giác H suy biến có = H S 0thì các đỉnh của đa giác cùng nằm trên một

đường thẳng.

2. Diện tích tam giác

Cho tam giác ABC có các cạnh là a, b, c và + + = a b c p 2 là nửa chu vi. Gọi a b c h ;h ;h

là đường cao tương ứng với các cạnh a, b, c và a b c r ;r ;r là bán kính đường tròn bàng tiếp

ứng với các cạnh a, b, c. Gọi R và r lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn

ngoại tiếp ta giác ABC. Khi đó ta có:

1) = = = ABC a b c 1 1 1 S ah bh ch 2 2 2

2) = = = ABC 1 1 1 S bc.sin A acsin B absinC 2 2 2

3) = = ABC abc S pr 4R = p.r

4) Công thức Heron: ( )( )( ) = − − − ABC S p p a p b p c

5) ( ) ( ) ( ) = − = − = − ABC A B C S p p a tan p p b tan p p c tan 2 2 2

Chú ý : Công thức 2 và 5 chỉ áp dụng cho tam giác nhọn.

3. Diện tích các tứ giác.

+ Diện tích hình chữ nhật: = S ab, với a, b là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật.

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC

451

+ Diện tích hình thang: ( ) + = h a b S 2 , với a, b là độ dài hai đáy và h là chiều cao.

+ Diện tích hình bình hành: = a S ah , với a và a h là độ dài cạnh và đường cao tương

ứng.

+ Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc: = 1 2 1 S d d 2 , với 1 2 d ,d là độ dài hai

đường chéo.

+ Diện tích hình thoi: = = 1 2 1 S ah d .d 2 , với a và h là độ dài cạnh và đường cao, 1 d và

2 d là độ dài hai đường chéo.

+ Diện tích hình vuông: = = 2 2 1 S a d 2 , với a là độ dài cạnh và d là độ dài đường chéo

của hình vuông.

4. Một số tính chất cở bản về diện tích tam giác.

+ Nếu hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số hai đáy tương ứng bằng tỉ số hai diện

tích. Ngược lại, nếu hai tam giác có cùng đáy thì tỉ số hai chiều cao tương ứng bằng tỉ số

hai diện tích.

+ Nếu hai tam giác có cùng chung đáy và có cùng diện tích thì đỉnh thứ ba thuộc

đường thẳng song song với đáy.

+ Đường trung bình trong một tam giác chia tam giác đó thành hai phần có diện tích

tỉ lệ với 1 : 3.

+ Đường trung tuyến của một tam giác chia tam giác đó thành hai phần có diện tích

bằng nhau.

+ Ba tam giác có chung đỉnh là trọng tâm của một tam giác còn đáy là ba cạnh thì có

diện tích bằng nhau.

+ Nếu một tam giác và một hình bình hành có cùng đáy và cùng chiều cao thì diện

tích tam giác bằng nửa diện tích hình bình hành.

+ Với mọi tam giác ABC ta luôn có ≥ ABC AB.AC 2S , dấu bằng xẩy ra khi tam giác ABC

vuoog tại A.

+ Hai tam giác ABC và A’B’C’ có   = A A' hoặc   + = 0 A A' 180 thì = ABC

A'B'C'

S AB.AC S A'B'.A'C'

THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC