Chuyên đề biến đổi đại số ôn thi vào

THCS.TOANMATH.com 1

BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ

Chương 1: Căn thức

1.1 CĂN THỨC BẬC 2

Kiến thức cần nhớ:

• Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho 2x a = .

• Cho số thực a không âm. Căn bậc hai số học của a kí hiệu là a là một số thực không âm x mà bình phương của nó bằng a :

2 0 0 a x

x a a x

≥ ≥    ⇔   = =   

• Với hai số thực không âm ,a b ta có: a b a b ≤ ⇔ ≤ .

• Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý:

+ 2 A A A A  = = − 

nếu 0 0 A A ≥ <

+ 2 A B A B A B = = với , 0 A B ≥ ; 2 A B A B A B = = − với

0; 0 A B < ≥

+ 2 . . A A B A B B B B = = với 0, 0 AB B ≥ ≠

+ . M M A A A = với 0 A > ;(Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu)

+ ( ) M A B M A B A B = − ±



với , 0, A B A B ≥ ≠ (Đây gọi là phép

trục căn thức ở mẫu)

1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n.

1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3.

Kiến thức cần nhớ:

THCS.TOANMATH.com 2

• Căn bậc 3 của một số a kí hiệu là 3 a là số x sao cho 3x a =

• Cho ( )

3 3 3 3 ; a R a x x a a ∈ = ⇔ = =

• Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc 3.

• Nếu 0 a > thì 3 0 a > .

• Nếu 0 a < thì 3 0 a < .

• Nếu 0 a = thì 3 0 a = .

•

3 3 3 a a b b = với mọi 0 b ≠ .

• 3 3 3. ab a b = với mọi ,a b .

• 3 3 a b a b < ⇔ < .

• 3 3 3 A B A B = .

•

3 2

3 A AB B B = với 0 B ≠

•

3 3 3 A A B B =

•

3 3 2 2 3

3 3 1 A AB B A B A B + = ± ±  với A B ≠± .

1.2.2 CĂN THỨC BẬC n.

Cho số , ; 2 a R n N n ∈ ∈ ≥ . Căn bậc n của một số a là một số mà lũy

thừa bậc n của nó bằng a. • Trường hợp n là số lẻ: 2 1, n k k N = + ∈

Mọi số thực a đều có một căn bậc lẻ duy nhất:

2 1 2 1 k k a x x a + + = ⇔ = , nếu 0 a > thì 2 1 0 k a + > , nếu 0 a < thì

2 1 0 k a + < , nếu 0 a = thì 2 1 0 k a + =

• Trường hợp n là số chẵn: 2 , n k k N = ∈ .

Mọi số thực 0 a > đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn

dương kí hiệu là 2k a (gọi là căn bậc 2k số học của a ). Căn bậc

chẵn âm kí hiệu là 2k a − , 2 0 k a x x = ⇔ ≥ và 2k x a = ;

2 0 k a x x − = ⇔ ≤ và 2k x a = .

THCS.TOANMATH.com 3

Mọi số thực 0 a < đều không có căn bậc chẵn.

Một số ví dụ:

Ví dụ 1: Phân tích các biểu thức sau thành tích:

a) 4 4 P x = −

b) 3 8 3 3 P x = +

c) 4 2 1 P x x = + +

Lời giải:

a) ( )( ) ( )( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 P x x x x x = − + = − + + .

b) ( ) ( ) ( )( )

3 3 2 2 3 2 3 4 2 3 3 P x x x x = + = + − + .

c) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 P x x x x x x = + − = − + + + .

Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức:

a) 1 4 A x x x = − − + khi 0 x ≥ .

b) 4 2 4 1 4 2 4 1 B x x x x = − − + + − khi 1 4 x ≥ .

c) 9 5 3 5 8 10 7 4 3 C = − + + −

Lời giải:

a)

2 1 1 1 4 2 2 A x x x x x x x   = − − + = − − = − −    

+ Nếu 1 1 2 4 x x ≥ ⇔ ≥ thì 1 1 1 2 2 2 x x A − = − ⇒ = .

+ Nếu 1 1 0 2 4 x x < ⇔ ≤ < thì 1 1 1 2 2 2 2 x x A x − = − + ⇒ = −

THCS.TOANMATH.com 4

b)

4 2 4 1 4 2 4 1 4 1 2 4 1 1 4 1 2 4 1 1 B x x x x x x x x = − −+ + − = −− −+ + −+ −+

Hay ( ) ( )

2 2 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 1 B x x x x = −− + −+ = −−+ −+

4 1 1 4 1 1 x x = −− + −+

+ Nếu 1 4 1 1 0 4 1 1 2 x x x −−≥ ⇔ −≥⇔ ≥ thì 4 1 1 4 1 1 x x −− = −− suy

ra 2 4 1 B x = −.

+ Nếu 1 1 4 1 1 0 4 1 1 4 2 x x x −−< ⇔ −< ⇔ ≤ < thì

4 1 1 4 1 1 x x −− = − −+ suy ra 2 B = .

c) Để ý rằng: ( )

2 7 4 3 2 3 7 4 3 2 3 − = − ⇒ − = −

Suy ra

9 5 3 5 8 10(2 3) 9 5 3 5 28 10 3 C = − + + − = − + −

( )

2 9 5 3 5 5 3 = − + − .Hay

9 5 3 5(5 3) 9 25 9 5 4 2 C = − + − = − = − = =

Ví dụ 3) Chứng minh:

a) 7 2 6 7 2 6 A = − − + là số nguyên.

b) 3 3 84 84 1 1 9 9 B = + + − là một số nguyên ( Trích đề TS vào lớp

10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006).