Chuyên đề hệ phương trình ôn thi vào

THCS.TOANMATH.com

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1:

a) Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình đó không đổi

b) Tính chất

Nếu ( ) 0 0 , x y là một nghiệm thì hệ ( ) 0 0 , y x cũng là nghiệm

c) Cách giải: Đặt . S x y P x y = +   = 

điều kiện 2 4 S P ≥ quy hệ phương trình về 2

ẩn , S P

Chú ý: Trong một số hệ phương trình đôi khi tính đối xứng chỉ thể hiện trong một phương trình. Ta cần dựa vào phương trình đó để tìm quan hệ

, S P từ đó suy ra qua hệ ,x y .

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:

a) 3 3 2 2

8

x y xy

x y

+ + =   + = 

b) ( )( )

3 3 19

8 2

x y

x y xy

 + =  + + = 

c) ( ) ( ) 2 2 3 3

3 3

2 3

6

x y x y xy

x y

 + = +   + = 

d) 3

1 1 4

x y xy

x y

+ − =  + + + = 

Giải:

a) Đặt . S x y P x y = +   = 

điều kiện 2 4 S P ≥ hệ phương trình đã cho trở thành:

THCS.TOANMATH.com

( ) 2 2

2 2 2 2 6 3 3 8 8 2

S P S P

S S S P S S

−  =  + =   ⇔   − − =      − =     

( )( ) 3 2 2 2 3 6 16 0 2 2 7 8 0 2 0 S S S S S S S P ⇒ + − − = ⇔ − + + = ⇔ = ⇒ =

Suy ra ,x y là hai nghiệm của phương

trình: 2 2 0 0, 2 X X X X − = ⇔ = =

0 2 2 0 x x y y = =   ∨   = =  

b) Đặt . S x y P x y = +   = 

điều kiện 2 4 S P ≥ hệ phương trình đã cho trở thành:

( )

( ) ( )

2

3 3 8 3 19 8 1

6 3 2 8 19 24 25 0 8 2

SP S S S P SP S S

P S S S S S P

 = − − = = −  =     ⇔ ⇔ ⇔     = − − − = + − =  + =     . Suy ra ,x y là hai nghiệm của phương trình:

2 1 2 6 0 3; 2 X X X X − − = ⇔ = = −

Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm ( ) ( ) ( ) ; 2;3 , 3; 2 x y = − −

c) Đặt 3 3 , a x b y = = hệ đã cho trở thành: ( ) ( ) 3 3 2 2 2 3

6

a b a b b a

a b

 + = +  + = 

.

Đặt S a b

P ab

= +   = 

điều kiện 2 4 S P ≥ thì hệ đã cho trở thành.

( ) ( ) 3 2 3 3 2 36 3 3 6 8 6 6

S SP SP P P S P S S

 − = − =  =    ⇔ ⇔    = =  =    

.

Suy ra ,a b là 2 nghiệm của phương trình:

THCS.TOANMATH.com

2 1 2 2 8 4 64 6 8 0 2; 4 4 64 2 8

a x a x X X X X b y b y

= ⇒ = = ⇒ =   − + = ⇔ = = ⇒ ∨   = ⇒ = = ⇒ =  

Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm ( ) ( ) ( ) ; 8;64 , 64;8 x y =

d) Điều kiện: 0 , 1 xy x y ≥   ≥− 

. Đặt . S x y P x y = +   = 

điều kiện 2 4 S P ≥ hệ phương

trình đã cho trở thành:

( )

( )

( ) ( )

( )

2

2

2

2 2 2

3; 3 3

2 2 1 16 2 3 1 14

3 14; 3 3 14; 3

30 52 0 4 8 10 196 28

S P S S P

S S P S S S

S P S S P S

S S S S S S

 ≥ = − − =   ⇔   + + + + =  + − + = −    ≤ ≤ = − ≤ ≤ = −   ⇔ ⇔   + − = + + = − +    

6 9 3 S P x y =  ⇔ = ⇒ = = 

. Vậy hệ đã cho có nghiệm ( ) ( ) ; 3;3 x y = .

Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau:

a)

2 2 2 8 2

4

x y xy

x y

 + + =  + = 

c)

2 2

2

2 1 xy x y x y

x y x y

 + + =  +   + = − 

b)

( )

( ) 2 2 2 2

1 1 5

1 1 9

x y xy

x y x y

   + + =           + + =      

d) ( ) ( ) ( )

3 2 2 3

2 2 1 2 30 0

1 11 0

x y y x y y xy

x y x y y y

 + + + + − =  + + + + − = 

Giải:

a) Đặt , x a y b = = điều kiện , 0 a b ≥ .