Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác vuông ôn thi vào

THCS.TOANMATH.com

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Hệ thức về cạnh và đường cao

KIẾN THỨC CƠ BẢN

Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ngoài việc nắm vững các kiến thức về định lý Talet, về các trường hợp đồng dạng của tam giác, cần phải nắm vững các kiến thức sau:

Tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , ta có:

1)

2 2 2 a b c .

2) 2 2 . '; . ' b ab c ac

3) 2 '. ' h b c

4) . . a h bc .

5) 2 2 2 1 1 1 h b c

.

6)

2

2 ' b b a a

.

Chú ý: Diện tích tam giác vuông: 1 2 S ab

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết

: 3 : 4 AB AC và 21 AB AC cm.

a) Tính các cạnh của tam giác ABC .

b) Tính độ dài các đoạn , , AH BH CH .

b' c'

h c

b

a

H C B

A

THCS.TOANMATH.com

Giải:

a). Theo giả thiết: : 3 : 4 AB AC ,

suy ra 3 3 4 3 4 AB AC AB AC . Do đó 3.3 9 AB cm ;

3.4 12 AC cm .

Tam giác ABC vuông tại A , theo định lý Pythagore ta có:

2 2 2 2 2 9 12 225 BC AB AC , suy ra 15 BC cm.

b) Tam giác ABC vuông tại A , ta có . . AH BC ABAC , suy ra . 9.12 7,2 15 AB AC AH cm BC

.

2 . AH BH HC . Đặt 0 9 BH x x thì 15 HC x , ta có:

2 2 7,2 15 15 51,84 0 5,4 9,6 5,4 0 x x x x x x x

5,4 9,6 0 5,4 x x x hoặc 9,6 x (loại)

Vậy 5,4 BH cm . Từ đó 9,6 HC BC BH cm .

Chú ý: Có thể tính BH như sau:

2 . AB BH BC suy ra

2 29 5,4 15 AB BH cm BC

.

Ví dụ 2: Cho tam giác cân ABC có đáy 2 BC a , cạnh bên bằng

b b a .

a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Dựng BK AC . Tính tỷ số AK

AC

.

A

B C H

THCS.TOANMATH.com

Giải:

a). Gọi H là trung điểm của BC . Theo định lý Pitago ta có:

2 2 2 2 2 AH AC HC b a

Suy ra 2 2 1 1 . 2 2 ABC S BC AH a b a

2 2 AH b a

b). Ta có 1 1 . . 2 2 ABC BC AH BK AC S

Suy ra 2 2 . 2 BC AH a BK b a AC b

. Áp dụng định lý Pitago trong tam

giác vuông AKB ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 4 b a a AK AB BK b b a b b

. Suy ra

2 2 2 b a AK b do đó

2 2

2

2 b a AK AC b

.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với các đỉnh , , A B C và các cạnh đối diện với

các đỉnh tương ứng là: , , a b c .

a) Tính diện tích tam giác ABC theo a

b) Chứng minh: 2 2 2 4 3 a b c S

Giải:

a). Ta giả sử góc A là góc lớn nhất của tam giác

, ABC B C là các góc nhọn. Suy ra chân

đường cao hạ từ A lên BC là điểm

K

H C B

A

H

C B

A

THCS.TOANMATH.com

H thuộc cạnh BC .

Ta có: BC BH HC . Áp dụng định lý

Pi ta go cho các tam giác vuông

, AHB AHC ta có: 2 2 2 2 2 2 , AB AH HB AC AH HC

Trừ hai đẳng thức trên ta có:

2 2 2 2 . c b HB HC HB HC HB HC a HB HC

2 2 c b HB HC a

ta cũng có:

2 2 2

2 a c b HB HC a BH a

. Áp dụng định lý Pitago cho tam

giác vuông

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 a c b a c b a c b AHB AH c c c a a a

2 2 2 2

2 . 2 2 4

a c b b a c a b c a c b b a c b c a

a a a

Đặt 2p a b c thì

2

2 16

2 4

p p a p b p c p p a p b p c AH AH a a

.

Từ đó tính được 1 . 2 S BC AH p p a p b p c

b). Từ câu ) a ta có: S p p a p b p c . Áp dụng bất đẳng thức

Cô si ta có:

3 3

3 27 p a p b p c p p a p b p c . Suy

ra

3 2 .27 3 3

p p S p . Hay

2

12 3

a b c S . Mặt khác ta dễ chứng minh

THCS.TOANMATH.com

được:

2 2 2 2 3 a b c a b c suy ra

2 2 2

2 2 2 3

4 3 12 3

a b c S a b c S

Dấu bằng xảy ra hki và chỉ khi tam giác ABC đều.

Ví dụ 4. Cho tam giác nhọn ABC đường cao CK ; H là trực tâm của tam

giác. Gọi M là một điểm trên CK sao cho 0 90 AMB . 1 2 , , S S S theo thứ

tự là diện tích các tam giác , AMB ABC và ABH . Chứng minh rằng

1 2 . S S S .

Giải:

Tam giác AMB vuông tại M có

MK AB nên 2 . MK AK BK (1).

AHK CBK vì có

0 90 AKH CKB ; KAH KCB

(cùng phụ với ABC ). Suy ra AK HK CK BK

, do đó . . AK KB CK KH (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2 . MK CK HK nên . MK CK HK ;

1 2 1 1 1 1 . . . . . . . 2 2 2 2 AMB S AB MK AB CK HK ABCK AB HK S S .

Vậy 1 2 . S S S .

Ví dụ 5. Cho hình thang ABCD có

0 0 90 , 60 , 30 , A D B CD cm CA CB . Tính diện tích của hình

D

K

M

H

C B

A