Chuyên đề đường tròn ôn thi vào

THCS.TOANMATH.com

ĐƯỜNG TRÒN

CHỦ ĐỀ 1: SỰ XÁC ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Định nghĩa: Đường tròn tâm O bán kính  R 0 là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng R kí hiệu là (O;R) hay (O)

+ Đường tròn đi qua các điểm 1 2 n A ,A ,...,A gọi là đường tròn ngoại tiếp đa

giác 1 2 n A A ...A

+ Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác 1 2 n A A ...A gọi là

đường tròn nội tiếp đa giác đó.

Những tính chất đặc biệt cần nhớ:

+ Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm vòng tròn ngoại tiếp

+ Trong tam giác đều , tâm vòng tròn ngoại tiếp là trọng tâm tam giác đó.

+ Trong tam giác thường:

Tâm vòng tròn ngoại tiếp là giao điểm của 3 đường trung trực của 3 cạnh tam giác đó

Tâm vòng tròn nội tiếp là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác đó

PHƯƠNG PHÁP: Để chứng minh các điểm 1 2 n A ,A ,...,A cùng thuộc một

đường tròn ta chứng minh các điểm 1 2 n A ,A ,...,A cách đều điểm O cho

trước.

Ví dụ 1) Cho tam giác đều ABCcó cạnh bằng a . AM,BN,CP là các đường trung tuyến. Chứng minh 4 điểm B,P,N,C cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.

Giải:

THCS.TOANMATH.com

Vì tam giác ABC đều nên các trung tuyến đồng thời cũng là đường cao . Suy ra AM,BN,CP lần lượt vuông góc với BC,AC,AB.

Từ đó ta có các tam giác BPC,BNC là tam giác vuông

Với BC là cạnh huyền, suy ra = = = MP MN MB MC

Hay: Các điểm B,P,N,C cùng thuộc đường tròn

Đường kính = BC a , tâm đường tròn là

Trung điểm M của BC

Ví dụ 2) Cho tứ giác ABCD có + = 0 C D 90 .Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BD,DC,CA . Chứng minh 4 điểm M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó .

Giải:

P N

M C B

A

O

Q

P

N

M

D C

B

A

T

THCS.TOANMATH.com

Kéo dài AD,CB cắt nhau tại điểm Tthì tam giác TCD vuông tại T.

+ Do MN là đường trung bình của tam giác ABD nên NM / /AD

+ MQ là đường trung bình của tam giác ABC nên MQ / /BC. Mặt khác

⊥  ⊥ AD BC MN MQ . Chứng minh tương tự ta cũng có:

⊥ ⊥ MN NP,NP PQ. Suy ra MNPQ là hình chữ nhật.

Hay các điểm M,N,P,Q thuộc một đường tròn có tâm là giao điểm O của hai đường chéo NQ,MP

Ví dụ 3) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) . Gọi M là

trung điểm của AC

G là trọng tâm của tam giác ABM . Gọi Q là giao điểm của BM và GO. Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BGQ .

Giải:

Vì tam giác ABC cân tại A nên tâm O của vòng tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên đường trung trực của BC.Gọi K là giao điểm của AO và BM

Dưng các đường trung tuyến MN,BP của tam giác ABM cắt nhau tại trọng tâm G .Do  ⊥ MN / /BC MN AO. Gọi K là giao điểm của BM và AO thì

K là trọng tâm của tam giác ABC suy ra GK / /AC .

Q I

P

N

O

M

K

G

C B

A

THCS.TOANMATH.com

Mặt khác ta có ⊥ OM AC suy ra ⊥ GK OM hay K là trực tâm của tam giác  ⊥ OMG MK OG. Như vậy tam giác BQG vuông tại Q . Do đó tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác GQB là trung điểm I của BG .

Ví dụ 4). Cho hình thang vuông ABCD có = = 0 A B 90 . = = BC 2AD 2a, Gọi

H là hình chiếu vuông góc của B lên AC

M là trung điểm của HC. Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM

Giải:

Gọi N là trung điểm của BH thì MN là đường trung bình của tam giác

HBC suy ra ⊥ MN AB , mặt khác ⊥  BH AM N là trực tâm của tam giác

ABM suy ra ⊥ AN BM.

Do =  = 1 MN / / BC MN / / AD 2 nên ADMN là hình bình hành suy ra

AN / /DM . Từ đó ta có: ⊥ DM BM hay tam giác DBM vuông tại M nên tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác DBM là trung điểm O của BD .

Ta có = = = + = + = 2 2 2 2 1 1 1 a 5 R MO BD AB AD 4a a 2 2 2 2 .

Bài toán tương tự cho học sinh thử sức.

Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH vuông góc với AC . Trên AC,CD ta lấy

các điểm M,N sao cho = AM DN AH DC . Chứng minh 4 điểm M,B,C,N nằm

trên một đường tròn.

O E N

M

H

D

C B

A