Chuyên đề góc với đường tròn ôn thi vào

THCS.TOANMATH.com

GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN

KIẾN THỨC CƠ BẢN

- Góc ABE có đỉnh A nằm trên đường tròn O và các cạnh cắt đường

tròn đó được gọi là góc nội tiếp (Hình). Trong trường hợp các góc nội tiếp

có số đo không vượt quá 0 90 thì số đo của chúng bằng nửa số đo của góc ở tâm, cùng chắn một cung. Các góc nội tiếp đều có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn. Vì thế, nếu những góc này cùng chắn một cung (hoặc chắn những cung bằng nhau) thì chúng bằng nhau, nếu các góc nội tiếp này bằng nhau thì các cung bị chắn bằng nhau.

Trên hình vẽ ta có: đ 1 s 2 ABE ADE ADE AE

- Cho đường tròn O và dây cung AB . Từ điểm A ta kẻ tiếp tuyến Ax

với đường tròn, khi đó BAx được gọi là góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây cung AB (Hình). Cũng như góc nội tiếp, số đo góc giữa tia tiếp tuyến và

dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn : đ đ 1 s s 2 BAx AmB .

E

O

D

C B

A

m

x

B

A

O

THCS.TOANMATH.com

Chú ý: Việc nắm chắc các khái niệm, định lý, hệ quả về góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung có thể giúp chúng ta so sánh số đo các góc, từ đó chứng minh được các đường thẳng song song với nhau, các tam giác bằng nhau, các tam giác đồng dạng với nhau…

I. Góc nội tiếp đường tròn

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

- Hai góc cùng chắn một cung thì bằng nhau và bằng nửa số đo cung bị

chắn. Trên hình vẽ: đ đ đ 1 s s s 2 ABD ACD AD .

- Các góc chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau. Trên hình vẽ:

đ đ đ đ s s s s AD CD AD CD ABD CAD .

B. VÍ DỤ

Ví dụ 1. Trên cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC về phía ngoài ta dựng hình vuông với tâm tại điểm O . Chứng minh rằng AO là tia phân

giác của góc BAC .

Lời giải:

Vì O là tâm của hình vuông nên 0 90 BOC .

Lại có 0 90 BAC suy ra bốn điểm , , , A B O C

cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.

N M

O

C B

A

O

D

C

B

A

THCS.TOANMATH.com

Đối với đường tròn này ta thấy BAO BCO (cùng chắn BO ). Mà

0 0 45 45 BCO BAO . Do 0 90 BAC , nên

0 45 CAO BAC BAO . Vậy BAO CAO , nghĩa là AO là tia

phân giác của góc vuông BAC (đpcm).

Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O . Từ đỉnh A ta

kẻ đường cao AH (H thuộc BC ). Chứng minh rằng BAH OAC .

Lời giải:

Kẻ đường kính AE của đường tròn O . Ta thấy 0 90 ACE (góc nội tiếp

chắn nửa đường tròn). Từ đó 0 90 OAC AEC (1).

Theo giả thiết bài ra, ta có: 0 90 BAH ABC (2). Lại vì AEC ABC

(cùng chắn AC ) (3).

Từ (1),(2) và (3) suy ra BAH OAC (đpcm).

Lưu ý: Cũng có thể giải bài toán theo hướng sau: Gọi D là giao điểm của

tia AH với đường tròn O , chứng tỏ tứ giác BDEC là hình thang cân. Từ

đó suy ra đ đ s s BD CE , dẫn đến BAD CAE , hay BAH OAC .

E

H

O

D

C B

A

THCS.TOANMATH.com

Ví dụ 3. Cho tam giác đềuABC nội tiếp đường tròn O . Trên cung BC

không chứa A ta lấy điểm P bất kỳ (P khác B và P khác C ). Các đoạn

PA và BC cắt nhau tại Q .

a) Giả sử D là một điểm trên đoạn PA sao cho PD PB . Chứng minh rằng PDB đều.

b) Chứng minh rằng PA PB PC .

c) Chứng minh hệ thức 1 1 1 PQ PB PC

.

Lời giải:

a) Trước tiên ta nhận thấy rằng tam giác PBD cân tại P . Mặt khác,

0 60 BPD BPA BCA (hai góc nội tiếp cùng chắn AB của đường

tròn O ). Vậy nên tam giác PDB đều.

b) Ta đã có PB PD , vậy để chứng minh PA PB PC ta sẽ chứng minh DA PC . Thật vậy, xét hai tam giác BPC và BDA có: BA BC (giả thiết), BD BP (do tam giác BPD đều). Lại vì

0 60 ABD DBC , 0 60 PBC DBC nên ABD PBC . Từ đó BPC BDA (c.g.c), dẫn đến DA PC (đpcm).

P

O

Q

D

C B

A