Một số phương pháp giải bài toán phương trình nghiệm nguyên

219

CHỦ ĐỀ

PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

I. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN.

Phương pháp 1. Sử dụng các tính chất về quan hệ chia hết.

Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính

chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt của các ẩn số cũng

như các biểu thức chứa ẩn trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng

mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn..

• Xét số dư hai vế của phương trình để chỉ ra phương trình không có nghiệm, tính

chẵn lẻ của các vế, …

• Đưa phương trình về dạng phương trình ước số.

• Phát hiện tính chia hết của các ẩn.

• Sử dụng tính đồng dư của các đại lượng nguyên.

Ví dụ 1. Chứng minh các phương trình sau không có nghiệm nguyên:

a) − = 2 2 x y 1998 b) + = 2 2 x y 1999

Lời giải

a) Dễ dàng chứng minh được 2 2 x ; y chia cho 4 chỉ có số dư 0 hoặc 1 nên − 2 2 x y chia

cho 4 có số dư 0, 1, 3. Còn vế phải 1998 chia cho 4 dư 2. Vậy phương trình đã cho

không có nghiệm nguyên.

b) Dễ dàng chứng minh được 2 2 x ; y chia cho 4 có số dư 0 hoặc 1 nên + 2 2 x y chia cho

4 có các số dư 0, 1, 2. Còn vế phải 1999 chia cho 4 dư 3. Vậy phương trình không có

nghiệm nguyên.

Ví dụ 2. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: + = + 2 9x 2 y y

Lời giải

Biến đổi phương trình: ( ) + = + 9x 2 y y 1

Ta thấy vế trái của phương trình là số chia hết cho 3 dư 2 nên ( ) + y y 1 chia cho 3 dư

2.

Như vậy chỉ có thể = + y 3k 1 và + = + y 1 3k 2 với k là một số nguyên.

220

Khi đó ta được ( )( ) ( ) ( ) + = + + ⇔ = + ⇔ = + 9x 2 3k 1 3k 2 9x 9k k 1 x k k 1

Thử lại ta thấy ( ) = + x k k 1 và = + y 3k 1 thỏa mãn phương trình đã cho.

Vậy nghiệm của phương trình là ( ) = +  = + 

x k k 1

y 3k 1

với k là số nguyên tùy ý.

Ví dụ 3. Giải phương trình nghiệm nguyên − = 2 2 x 5y 27

Lời giải

Một số nguyên x bất kì chỉ có thể biểu diễn dưới dạng = x 5k hoặc = ± x 5k 1

hoặc = ± x 5k 2 , trong đó k là một số nguyên. Khi đó ta xét các trường hợp sau:

• Nếu = x 5k , khi đó từ − = 2 2 x 5y 27 ta được ( ) ( ) − = ⇔ − = 2 2 2 2 5k 5y 27 5 5k y 27 .

Điều này vô lí vì vế trái chia hết cho 5 với mọi k và y là số nguyên, còn vế phải không

chia hết cho 5

• Nếu = ± x 5k 1, khi đó từ − = 2 2 x 5y 27 ta được

( ) ( ) ± − = ⇔ ± + − = ⇔ ± − = 2 2 2 2 2 2 5k 1 5y 27 25k 10k 1 5y 27 5 5k 2k y 26

Điều này vô lí vì vế trái chia hết cho 5 với mọi k và y là số nguyên, còn vế phải không

chia hết cho 5

Nếu = ± x 5k 2 , khi đó từ − = 2 2 x 5y 27 ta được

( ) ( ) ± − = ⇔ ± + − = ⇔ ± − = 2 2 2 2 2 2 5k 2 5y 27 25k 20k 4 5y 27 5 5k 4k y 23

Điều này vô lí vì vế trái chia hết cho 5 với mọi k và y là số nguyên, còn vế phải không

chia hết cho 5

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm là số nguyên

Ví dụ 4. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau + = 2 2 19x 28y 729.

Lời giải

Cách 1. Viết phương trình đã cho dưới dạng ( ) ( ) + + + = 2 2 2 2 18x 27y x y 729

Từ phương trình trên suy ra + 2 2 x y chia hết 3

Chú ý là một số chính phương khi chia cho 3 có số dư là 0 hoặc 1. Nên từ + 2 2 x y chia

hết 3 ta suy ra được x và y đều chia hết cho 3.

Đặt ( ) = = ∈ x 3u; y 3v u;v Z . Thay vào phương trình đã cho ta được + = 2 2 19u 28v 81