Chuyên đề những định lý hình học nổi tiếng ôn thi vào

THCS.TOANMATH.com

NHỮNG ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC NỔI TIẾNG

1. Đường thẳng Euler

1.(Đường thẳng Euler). Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng trọng tâm G , trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O cùng nằm trên một đường thẳng. Hơn nữa

2 GH GO

. Đường thẳng nối , , H G O gọi là đường thẳng Euler của tam giác ABC .

Chứng minh:

Cách 1: Gọi , E F lần lượt là trung điểm của , BC AC . Ta có EF là đường

trung bình của tam giác ABC nên / / EF AB . Ta lại có / / OF BH (cùng

vuông góc với AC ). Do đó OFE ABH (góc có cạnh tương ứng song

song). Chứng minh tương tự OEF BAH .

Từ đó có ABH EFO (g.g) 2 AH AB OE EF

(do EF là đường

trung bình của tam giác ABC ). Mặt khác G là trọng tâm của tam giác

ABC nên 2 AG GE

. Do đó 2 AG AH FG OE

, lại có HAG OEG (so le

trong, / / OE AH ) HAG EOG (c.g.c) HGA EGO . Do

0 180 EGO AGO nên 0 180 HGA AGO hay 0 180 HGO .

E

H'

M

O H G

D

C B

A

O G

H

C B

A

THCS.TOANMATH.com

Vậy , , H G O thẳng hàng.

Cách 2: Kẻ đường kính AD của đường tròn ( ) O ta có BH AC (Tính

chất trực tâm) AC CD (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra / / BH CD . Tương tự ta cũng có / / CH BD nên tứ giác BHCD là hình

bình hành, do đó HD cắt BC tại trung điểm của mỗi đường. Từ đó cũng suy

ra 1 / / 2 OM AH (Tính chất đường trung bình tam giác ADH ). Nối

AM cắt HO tại G thì 1 2 GO OM GH AH

nên G là trọng tâm của tam giác

ABC .

Cách 3: sử dụng định lý Thales :Trên tia đối GO lấy ' H sao cho ' 2 GH GO. Gọi M là trung điểm BC . Theo tính chất trọng

tâm thì G thuộc AM và 2 GA GM .

Áp dụng định lý Thales

vào tam giác GOM dễ suy ra

'/ / AH OM (1).Mặt khác do O

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC , M là trung điểm BC nên OM BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra ' AH BC , tương tự ' BH CA. Vậy ' H H là trực tâm tam giác ABC . Theo cách dựng ' H ta có ngay kết luận bài toán.

Chú ý rằng: Nếu ta kéo dài AH cắt đường tròn tại H' thì = 0 AH'D 90 (Góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) nên EM là đường trung bình của tam giác HH'D suy ra H đối xứng với H' qua BC . Nếu gọi O' là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác HBC thì ta có O' đối xứng với O qua BC .

Đường thẳng đi qua H,G,O được gọi là đường thẳng Euler của tam giác ABC. Ngoài ra ta còn có = OH 3OG.

M

H'

O G

H

C B

A

THCS.TOANMATH.com

*Đường thẳng Euler có thể coi là một trong những định lý quen thuộc nhất của hình học phẳng. Khái niệm đường thẳng Euler trước hết liên quan đến tam giác, sau đó được mở rộng và ứng dụng cho tứ giác nội tiếp và cả n - giác nội tiếp, trong chuyên đề ta quan tâm đến một số vấn đề có liên quan đến khái niệm này trong tam giác.

1.1. (Mở rộng đường thẳng Euler) Cho tam giác ABC . P là điểm bất kỳ trong mặt phẳng. Gọi ', ', ' A B C lần lượt là trung điểm của , , BC CA AB .

G là trọng tâm tam giác ABC .

a) Chứng minh rằng các đường thẳng qua , , A B C lần lượt song song với

', ', ' PA PB PC đồng quy tại một điểm P H , hơn nữa , , P H G P thẳng hàng

và 2 P GH

GP

.

b) Chứng minh rằng các đường thẳng qua ', ', ' A B C lần lượt song song với

, , PA PB PC đồng quy tại một điểm P O , hơn nữa , , P O G P thẳng hàng và

1 2

P GO

GP

.

Giải:

a) Ta thấy rằng kết luận của bài toán khá rắc rối, tuy nhiên ý tưởng của lời giải câu 1 giúp ta tìm đến một lời giải rất ngắn gọn như sau:

Lấy điểm Q trên tia đối tia GP sao

cho 2 GQ GP . Theo tính chất trọng

tâm ta thấy ngay G thuộc ' AA

và 2 ' GA GA . Vậy áp dụng định lý

Thales vào tam giác ' GPA dễ suy ra / / ' AQ PA . Chứng minh

Hp

G

Q

P

C' B'

A'

C B

A