Chùm bài toán tiếp tuyến cát tuyến ôn thi vào môn Toán

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

CHÙM BÀI TOÁN

TIẾP TUYẾN – CÁT TUYẾN

ÔN THI VÀO 10

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1: Cho   ; O R và điểm M nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến MB với đường tròn, dây BC vuông

góc OM tại H .

1) Chứng minh 2 . OH OM R  .

Vì MB là tiếp tuyến  O BM OB    OBM  vuông tại , B BH là đường cao .

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông 2 2 : . OBM OM OH OB R  

2) Chứng minh MB MC  , HB HC  .

Xét hai tam giác vuông OHB  và OHC  có OB OC R   , OH chung.

Từ đó chỉ ra  

  2 BOH COH OHB OHC cgv

HB HC

       

.

Từ đó suy ra   OMB OMC c g c MB MC       .

3) Chứng minh MC là tiếp tuyến đường tròn.

Do   0 90 OMB OMC OCM OBM CM       là tiếp tuyến của  O .

M

C

H O I

B

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

4) Chứng minh tứ giác MBOC nội tiếp đường tròn, tìm tâm đường tròn đó.

Chỉ ra   0 180 MBO MCO MBOC    nội tiếp, tâm nằm ở trung điểm OM .

5) Bài có thể thay đổi lại đề bài, cho hai tiếp tuyến , MB MC . Chứng minh BC OM  .

+ Lập luận vì MB MC M   nằm trên trung trực BC , OB OC O   nằm trên trung trực BC .

Vậy OM là trung trực BC OM BC   .

+ Hoặc chỉ ra MB MC  và MO là phân giác góc  BMC ( tính chất tiếp tuyến) nên OM là đường cao

MBC OM BC    .

6) Tính OH , HM , , MB MC , góc  BMC biết 2 OM R  .

Chỉ ra 2 2 3 . .2 2 2 2 2 R R R OB OH OM R OH R OH HM OM OH R            .

Tính 2 2 3 3 BM OM OB R MC MB R       .

    0 0 1 sin 30 2. 60 2 OB BMO BMO BMC BMO OM        .

7) Cho 4 3 CM R  . Tính diện tích COBM .

Vì

2 1 1 4 4 2 2. . . 2. . . 2 2 3 3 OBMC OCM

R OBM OCM S S OC CM R R         ( đơn vị diện tích)

M

C

H O I

B

H M

C

O

B

H M

C

O

B

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

8) Gọi giao OM với  O là I . Chứng minh BI là phân giác góc  MBC và I là tâm đường tròn nội tiếp

MBC  .

(Đề bài có thể đổi thành: Chứng minh khi M thay đổi, tâm đường tròn ngoại tiếp MBC  luôn nằm trên

một đường tròn cố định – hoặc chứng minh I cách đều 3 cạnh , , BM CM BC )

Cách 1: Do , MC MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M MO  là phân giác góc  1 BMC .

Ta có:

 

 

  

 

0

0 90

90

,

OBI IBM

HBI HIB HBI IBM BI

HIB OBI OI OB R

              

là phân giác góc  2 CBM .

Từ  1 2 I  là tâm đường tròn nội tiếp BCM  .

Cách 2: Do , MC MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M MO  là phân giác góc  1 BMC .

Ta có:   BOM COM  ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên cung   CI BI  .

Mà

 

 

 

1 2

1 2

CBI sdCI

CBI IBM BI IBM sdBI

         

là phân giác góc  2 CBM .

Từ  1 2 I  là tâm đường tròn nội tiếp BCM  .

9) Chứng minh IH HB IM BM 

Xét BHM  có BI là phân giác trong của góc  HBM HI BH IM BM   ( tính chất phân giác) .

10) Tìm vị trí điểm M để BI MC  ( hoặc CI MB  ).

Vì BI là phân giác góc  CBM , để BI CM CBM   cân tại B CB BM   .

M

C

H O I

B

M

C

H O I

B

Giáo viên: Nguyễn Chí Thành

Mà BM CM BCM   là tam giác đều nên    0 0 0 60 120 60 BMC BOC BOM      .

Ta có:   cos 2 cos

OB OB BOM OM R OM BOM     .

Vậy để BI CM  thì   ;2 M O R  .

11) Từ điểm A trên cung nhỏ BC vẽ tiếp tuyến với đường tròn  O . Tiếp tuyến này cắt , MB MC tại

1 2 , A A . Chứng minh chu vi 1 2 MA A  không đổi và độ lớn góc 

1 2 AOA không phụ thuộc vào vị trí điểm

A khi A di chuyển trên cung nhỏ BC .

Ta có: 1 1

2 2

MB MC

A B A A

A A A C

       

( tính chất tiếp tuyến cắt nhau) .

Chu vi 1 2 MA A  là:      1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 MA MA A A MA MA A A AA MA A A MA AA          

   1 1 2 2 2 MA A B MA CA MB MC MB        không đổi khi A di chuyển trên cung nhỏ BC .

Ta có:          0 1 2 1 2

1 1 1 1 180 2 2 2 2 AOA AOA AOA BAO AOC BOC BMC        không đổi.

Vậy chu vi tam giác 1 2 MA A và độ lớn góc 

1 2 AOA không phụ thuộc vào vị trí điểm A .

12) Cho 3 , 6 R cm OM cm   . Tính số đo góc 

1 2 AOA .

Ta có:     0 1 2

1 180 2 AOA BMC   . Trong tam …