Đề thi chọn HSG cấp huyện THPT năm học 2017 2018 môn Toán sở GD và ĐT Cao Bằng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CAO BẰNG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 – 2018

MÔN: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề gồm 01 trang) Câu 1: (4,0 điểm)

a. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số

3 2 2 1 3 x y x mx = − + − có hai điểm

cực trị 1 2 , x x thỏa mãn: 1 2 2. x x − =

b. Cho hàm số 3 1 x y x

+ = +

có đồ thị ( ) C . Tìm các giá trị của tham số m để đường

thẳng : 2 d y x m = + cắt đồ thị ( ) C tại hai điểm phân biệt , A B sao cho 5. AB = Câu 2: (4,0 điểm)

a. Giải phương trình: 2 1 1 x x x x + + − + =

b. Giải hệ phương trình:

3 2

2 2

2 ( 3 4)

5

y y x x x

x y

 + − = + +  + =  Câu 3: (2,0 điểm) Giải phương trình: cos (4sin 3) sin x x x + = Câu 4: (2,0 điểm) Một trường trung học phổ thông có 12 học sinh giỏi gồm ba học sinh khối 10, bốn học sinh khối 11 và năm học sinh khối 12. Chọn sáu học sinh trong số học sinh giỏi đó, tính xác suất sao cho cả ba khối đều có học sinh được chọn. Câu 5: (4,0 điểm) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng ( ) SBD và mặt phẳng đáy bằng 60 . o a. Tính thể tích khối chóp .S ABCD . b. Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( ) SBC . Câu 6: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , Oxy cho hình bình hành . ABCD Điểm ( 3;0) M − là trung điểm của cạnh , AB điểm (0; 1) H − là hình chiếu vuông góc của B

trên AD và điểm 4;3 3 G     

là trọng tâm của tam giác . BCD Tìm tọa độ các điểm , . B D

Câu 7: (2,0 điểm)

Cho , , x y z là các số thực dương thỏa mãn 1 1 1 3 x y z + + ≤ . Chứng minh rằng:

1 1 1 3 2 2 2 4 x y z x y z x y z + + ≤ + + + + + + .

______________________________Hết_______________________________ (Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh:…………………………………….. Số báo danh:…..............………… Họ tên, chữ ký của giám thị 1:………………………………………….........….....…….…

ĐỀ CHÍNH THỨC

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CAO BẰNG

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 - 2018

Môn: TOÁN (Hướng dẫn chấm có 05 trang)

I. Hướng dẫn chung:

1. Điểm của bài thi theo thang điểm 20, phần lẻ được tính đến 0,25 điểm. Giám khảo giữ nguyên điểm lẻ, không được làm tròn điểm.

2. Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm.

3. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng giải theo cách khác mà lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác thì vẫn cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.

II. Đáp án và thang điểm:

Câu ý Đáp án Điểm 1 (4,0đ)

a Tập xác định: D = ℝ. 0,25

2 ' 4 y x x m = − + ; 2 ' 0 4 0 (*) y x x m = ⇔ − + = 0,25 Hàm số đã cho có hai điểm cực trị 1 2 , x x ⇔Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

' 0 4 0 4 m m ⇔∆> ⇔ − > ⇔ < .

0,5

Ta có:

2 1 2 1 2

2 1 2 1 2

2 ( ) 4

( ) 4 4 0

x x x x

x x x x

− = ⇔ − =

⇔ + − − =

0,5

12 4 0 3 m m ⇔ − = ⇔ = (thỏa mãn điều kiện). Vậy giá trị cần tìm là 3 m = . 0,5

b Phương trình hoành độ giao điểm:

2

3 2 1 2 ( 1) 3 0 (*) 1

x x m x x m x m

x

+ = + + − − + + − = ⇔≠− 

. 0,5

Đường thẳng ( ) d cắt đồ thị ( ) C tại hai điểm phân biệt (*) ⇔ có hai

nghiệm phân biệt.

Ta có:

2

2 6 25 0

2.( 1) ( 1).( 1) 3 0

m m m m m

∆= − + >  ⇔∀ ∈ − − − + − + − ≠ 

ℝ.

Suy ra ( ) d và ( ) C luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt , A B.

0,5

ĐỀ CHÍNH THỨC