Đề thi chọn đội tuyển môn Toán năm 2018 2019 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội

TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦNGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG THPT CHUYÊN Độc lập - Tựdo - Hạnh phúc

———–***———–

ĐỀTHI CHỌN ĐỘI TUYỂN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2018-2019

Ngày thi thứnhất: 10-09-2018

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1. Cho tam thức bậc hai f(x) = x2 + ax + b với a, b ∈R. Biết rằng tồn tại duy nhất số

thực x0 sao cho f(f(x0)) = 0. Chứng minh rằng a, b là các sốkhông âm.

Câu 2. Cho ba sốdương a1, b1, c1 thoảmãn a1 + b1 + c1 = 1 và các dãy số(an), (bn), (cn) thoả

mãn

an+1 = a2 n + 2bncn, bn+1 = b2 n + 2ancn, cn+1 = c2 n + 2anbn với mọi n ∈N∗.

Xét dãy (xn) xác định bởi xn = a2 n + b2 n + c2 n với mọi n nguyên dương. Chứng minh

(a) xn+1 = 2x2 n + (xn −1)2

2 với mọi n ∈N∗.

(b) (xn) có giới hạn hữu hạn khi n →+∞và tìm giới hạn đó.

Câu 3. Ghi lên bảng 2018 sốnguyên dương đầu tiên: 1, 2, 3, . . . , 2018. Thực hiện thuật toán sau:

mỗi lần cho phép xoá đi hai sốa, b mà không có sốnào là bội của sốkia và thay thếchúng bởi

hai sốlà ước sốchung lớn nhất và bội sốchung nhỏnhất của a, b. Hỏi rằng ta có thểthực hiện

thuật toán trên vô hạn lần không? Tại sao?

Câu 4. Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn (O), I là tâm đường tròn nội tiếp.

Gọi E là giao điểm của BI và AC, F là giao điểm của CI và AB. M, N theo thứtựlà giao

điểm thứhai của BI, CI và đường tròn (O). Đường thẳng BI cắt đường tròn ngoại tiếp tam

giác BNF tại điểm thứhai P. Đường thẳng CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CME tại

điểm thứhai Q.

(a) Chứng minh rằng tứgiác EFPQ nội tiếp một đường tròn.

(b) Qua I kẻđường thẳng ∆vuông góc với BC. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp

tứgiác EFPQ nằm trên ∆.

TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦNGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG THPT CHUYÊN Độc lập - Tựdo - Hạnh phúc

———–***———–

ĐỀTHI CHỌN ĐỘI TUYỂN MÔN TOÁN NĂM HỌC 2018-2019

Ngày thi thứhai: 11-09-2018

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1. Cho n là sốnguyên lớn hơn 1 và (x1, . . . , xn) là một hoán vịcủa tập hợp {1; 2; . . . ; n}

(tập hợp gồm n sốnguyên dương đầu tiên). Chứng minh rằng

n X

k=1 kxk (k + xk) ≤n2(n + 1)2

2 .

Câu 2. Cho các sốnguyên m, n lớn hơn 1 thoảmãn trong n sốx2 −x với x = 1, . . . , n không

có hai sốnào có cùng sốdư khi chia cho m. Chứng minh rằng

(a) m ≥2n −1.

(b) m = 2n −1 khi m là sốnguyên tốlẻ.

Câu 3. Với mỗi sốnguyên n > 1, ta gọi một hoán vị(a1, . . . , an) của tập hợp {1; 2; . . . ; n} (tập

hợp gồm n sốnguyên dương đầu tiên) là tốt nếu

|a1 −1| = |a2 −2| = · · · = |an −n| ̸= 0.

Chứng minh rằng

(a) Không tồn tại hoán vịtốt nếu n lẻ.

(b) Nếu n chẵn thì sốhoán vịtốt bằng sốcác ước dương của n

2.

Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn (O). P, Q theo thứtựlà tâm

đường tròn ngoại tiếp các tam giác OAB, OAC. R là điểm đối xứng của O qua BC. Gọi X là

giao điểm của RB và CP, Y là giao điểm của RC và BQ. Chứng minh rằng ÷ BAX = ÷ Y AC.