Đề chọn đội tuyển dự HSG Quốc gia 2019 môn Toán sở GD và ĐT Quảng Bình
Xem trước nội dung
SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC
DỰ THI HSG QUỐC GIA NĂM 2019 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ nhất: 21/08/2018.
Câu 1. (5 điểm) Cho dãy số n u thỏa mãn
1
* 1
1
1 1 . 1 n
n
u
u n u
a) Chứng minh rằng: dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Chứng minh rằng:
2018
2
1
4036. k k
u
Câu 2: (5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn AB AC có H là trực tâm, nội tiếp đường tròn (O). , BE CF
là các đường cao của tam giác ABC( , ) E AC F AB . Đường thẳng EF cắt BC tại G,
đường thẳng AG cắt đường tròn (O) tại M.
a) Gọi T là trung điểm của BC. Chứng minh: GH AT .
b) Lấy điểm P nào đó trên tia BC (P nằm ngoài đoạn BC). Đường tròn (O) cắt
AP tại I và cắt đường tròn đường kính AP tại Q (I, Q đều khác A). AQ cắt BC tại J.
Chứng minh rằng: đường thẳng IJ luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 3. (5 điểm) Cho 1 2 1 2 1 0 ( ) ... n n n n n P x x a x a x a x a là đa thức với hệ số
thực, n là số nguyên dương chẵn và có n nghiệm thực (không nhất thiết phân biệt). Giả
sử y là số thực dương thỏa mãn với mọi số thực t y thì ( ) 0 P t .
Chứng minh rằng: (0) ( ) . n n P P y y
Câu 4. (5 điểm) Cho 2018 số nguyên dương 1 2 2018 , ,..., a a a và số nguyên 1 a sao cho
a chia hết cho 1 2 2018 . ..... a a a . Chứng minh rằng:
2019 1 a a không chia hết cho
1 2 2018 1 1 ... 1 a a a a a a .
.............................HẾT................................
SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC
DỰ THI HSG QUỐC GIA NĂM 2019 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ nhất: 21/08/2018. HƯỚNG DẪN CHẤM
(Đáp án, hướng dẫn này có 6 trang)
Yêu cầu chung * Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng. * Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. Ở câu hình, nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0. * Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,5 điểm. Đối với điểm thành phần lớn hơn 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,5 điểm. * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài. * Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài
BÀI NỘI DUNG ĐIỂM
Câu 1
Cho dãy số nu thỏa mãn
1
* 1
1
1 1 . 1 n
n
u
u n u
a) Chứng minh: dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Chứng minh rằng:
2018
2
1
4036. k k
u
5,0
điểm
1a
2,5
điểm
Từ cách cho dãy số ta có:
* 0, n u n
Ta có 2 3 1 4 2 3 7 17 ; ; 2 5 12 u u u u u
Xét hàm số 1 ( ) 1 1 f x x , ta có f x liên tục và nghịch biến trên
0; 1 ( ) 2, 0 f x x .
Ta có * 1
1 1 ( ), 1 n n n u f u n u ( ) n u bị chặn.
1,0
1 3 1 3 2 4 2 4 3 5 (u ) ( ) ( ) ( ) ... u u f f u u u f u f u u u
suy ra dãy 2 1 ( ) n u tăng và dãy 2 ( ) n u giảm.
Theo tiêu chuẩn Weierstrass suy ra 2 1 2 ( ),( ) n n u u là các dãy hội tụ.
0,5
Giả sử 2 2 1 lim ; lim ( , 1;2 ) n n u a u b a b
Do hàm f liên tục nên:
Từ 2 1 2 2 1 2 ( ) lim lim ( ) ( ) n n n n u f u u f u b f a
Từ 2 2 2 1 2 2 2 1 ( ) lim lim ( ) ( ) n n n n u f u u f u a f b .
0,5
Giải hệ phương trình
1 1 1 2 1 1 1
b a a b a b
.
Vậy lim 2 n u .
0,5
1b
2,5
điểm
Từ giả thiết, ta thấy 1, 1 nu n .
Mà
2 2 2
1 2 1 2 2 1 2 1 1
n n
n n
u u u u
.
0,5
Do đó : 2 2 1 2 2 n n u u . 0,5
Ta lại có 1 1 u suy ra 2 2 n u nếu n lẻ; 2 2 nu nếu n chẵn.
0,5
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
