Đề chọn đội tuyển HSG Toán THPT năm 2021 sở GD ĐT Khánh Hòa (Vòng 1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KHÁNH HÒA

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề thi gồm có 01 trang

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN

THI HSG THPT CẤP QUỐC GIA NĂM 2021

Môn thi: TOÁN (Vòng 1)

Ngày thi: 23/09/2020

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (4,0 điểm)

Giải hệ phương trình:

3 3 2

2 6 13 10 0

1 1 2 5 1

x y x x y

x x y y

               .

Câu 2. (4,0 điểm)

Cho dãy số   nu được xác định bởi 1 1 u  và

2

1 2 5

n n n

u u u     với mọi * n.

Chứng minh rằng dãy số   nu có giới hạn hữu hạn khi n  và tìm giới hạn đó.

Câu 3. (4,0 điểm)

Cho đa thức 2021 2020 1 2020 2021 ( ) f x x a x a x a     với hệ số nguyên thỏa mãn phương trình

    4 2 ( ) ( ) 2 0 f x f x    có 2021 nghiệm nguyên (các nghiệm đôi một phân biệt). Chứng minh rằng không

thể phân tích ( ) f x thành tích ( ) ( ). ( ) f x p x q x  với ( ) p x , ( ) q x là các đa thức có hệ số nguyên.

Câu 4. (4,0 điểm)

Cho tam giác nhọn không cân ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn  O . Gọi E, F lần lượt là chân đường

cao hạ từ B, C của tam giác ABC. M là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF với đường tròn  O

(M không trùng A). Đường thẳng BH cắt đường tròn  O tại D (D không trùng B). I là trung điểm BC.

a) Chứng minh rằng ba đường thẳng AM, EF, BC đồng quy tại một điểm.

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác HEI cắt BC tại N (N không trùng I). Đường thẳng EN cắt đường thẳng qua H và song song với BC tại K. Chứng minh rằng bốn điểm M, H, K, D cùng thuộc một đường tròn.

Câu 5. (4,0 điểm)

a) Cho n là một số nguyên dương, xét tập hợp {1,2,3, , } S n   . Gọi p, q lần lượt là số tập con khác rỗng của S và có số phần tử là chẵn, lẻ. Chứng minh rằng 1. p q  

b) Cho m, n là các số nguyên dương và một bảng hình chữ nhật kẻ ô vuông có m hàng và n cột (nghĩa là bảng gồm m n  ô vuông). Xét các tập hợp T khác rỗng gồm một số các ô vuông thuộc bảng trên sao cho mỗi hàng và mỗi cột của bảng đều có chứa ít nhất một ô vuông của T. Gọi , m n p là số các tập hợp T có số phần tử là số

chẵn và , m n q là số các tập hợp T có số phần tử là số lẻ. Chứng minh rằng 1 , , ( 1)m n m n m n p q    .

-------------------- HẾT --------------------