Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 11 môn Toán năm 2014 2015 sở GD ĐT Hà Tĩnh

0

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: TOÁN LỚP 11 Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi có 01 trang, gồm 5 câu) Câu 1. a) Giải phương trình: 2cos4 cos2 1 3sin 2 x x x   .

b) Giải phương trình: 3 2 3 8 10 17 8 24 30 7 x x x x       . Câu 2.

a) Cho khai triển 0 1 (1 2 ) ... n n n x a a x a x      , với n là số tự nhiên thỏa mãn

2 3 1 1 2 1 2 3 ... 78

n n n n n n n n n

C C C C n C C C       . Tìm số lớn nhất trong các số 0 1 , ,..., n a a a .

b) Cho tam giác ABC thỏa mãn 0 90 C B A    . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.sin .sin 2 2 2 A B A B P cos   .

Câu 3. Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn (O) đường kính AC, điểm B di động trên nửa

đường tròn (O) với B khác A và C . Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với (P) lấy điểm S sao cho SA AC a   . Gọi H, K lần lượt là chân đường cao hạ từ A xuống SB, SC.

a) Chứng minh rằng tam giác AHK vuông. Tính diện tích tam giác SBC theo a biết

34 34 a HK  .

b) Xác định vị trí của B trên nửa đường tròn (O) sao cho tổng diện tích các tam giác SAB và CAB lớn nhất.

Câu 4. Cho dãy số (xn) xác định như sau:

1 3 x  và

3

1 2 2 4 6

n n n n n

x x x x x       với 1,2,... n 

Với mỗi số nguyên dương n, đặt 2 1

1 4

n

n i i y x     . Tìm lim ny .

Câu 5. Cho x, y, z dương thỏa mãn 3 2 6 xy yz zx    . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2 1 4 9 1 4 9 P x y z       .

-------------HẾT -------------

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ………………………………………….Số báo danh: ……………………….

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN: TOÁN LỚP 11 HƯỚNG DẪN CHẤM Lưu ý: Mọi cách giải khác mà đúng và gọn đều cho điểm tương ứng Câu Nội dung Điểm

Câu 1a 3.0đ

Phương trình đã cho tương đương với: 2 2 2 3sin 2 2 3sin 2 0 cos x x cos x x     0.5

 ( 2 3sin 2 )( 2 3sin 2 1) 0 cos x x cos x x     0.5

2 3sin 2 0 (1)

2 3sin 2 1 (2)

cos x x

cos x x

       0.5

Giải (1): 1 (1) tan 2 3 x    12 2 x k     0.5

Giải (2): (2)  1 sin 2 6 2 x           6

2

x k

x k

 

 

       

0.5

Vậy: Nghiệm phương trình đã cho là:

12 2 x k     ; 6 x k      ; 2 x k     với k Z  0.5

Câu 1b 2.5đ

Đặt 2 3 24 30 7 x x y     (*) , ta có hệ :

3

2 3 8 10 17 8 (1)

24 30 7 (2)

x x y

x x y

         0.5

Cộng vế theo vế (1) và (2) ta có: 3 3 (2 2) 8(2 2) 8 x x y y      Từ phương trình này rút ra được: 2 2 y x   0.5

Thế vào (*) ta được: 3 1 4 3 2 x x   (3) 0.25

Đặt x=cost với   0; t   ta được: 1 3 2 cos t 

Giải phương trình này ta được: 3 5 ; ; 9 9 9 t t t       0,5

Do 3 số 5 7 ; ; 9 9 9 cos cos cos    đôi một phân biệt nên phương trình (3) có

đúng 3 nghiệm là: 5 7 ; ; 9 9 9 x cos x cos x cos       0,5

Vậy phương trình có 3 nghiệm là: 5 7 ; ; 9 9 9 x cos x cos x cos       0.25

Câu 2a 3.0đ

Ta có:

2 3 1 1 2 1 2 3 ... 78

n n n n n n n n n

C C C C n C C C      

( 1) ( 2) ... 1 78 n n n        0.5

 2 ( 1) 78 156 0 2 n n n n       12 n   0.5