Đề thi học sinh giỏi lớp 11 môn Toán cấp tỉnh năm 2016 2017 sở GD ĐT Lai Châu

UBND TỈNH LAI CHÂU SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi: Toán Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi:…../4/2017

Câu 1: ( 3 điểm) Giải phương trình sau: sin2 2cos2 1 sin 4cos . x x x x + = + −

Câu 2: ( 3 điểm) Cho số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện:

3 2 1 2 1 1 3 n n n n n n C C C C − + − − + − = .

Tìm hệ số của số hạng chứa

11 x trong khai triển

3 8 3

n

n n x x x

−   −    

với 0 x ≠ .

Câu 3: (4 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt

bên SAD là một tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi

M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC và CD. Biết góc giữa đường

thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng

0 30 .

a) Chứng minh rằng ( ) BP AMN ⊥ .

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.

Câu 4: (4 điểm) Giải hệ phương trình ( )

2

2 3 5 4 , . 4 2 1 1

x xy x y y y x y y x y x

+ + − − = +  ∈  − − + −= −  

Câu 5: (3 điểm) Cho dãy số { } nu xác định như sau:

1

2

1

1 . , 1,2,... 2017

n n n

u

u u u n +

=  = + = 

Tính: 1 2

2 3 1 lim n

n n

u u u u u u →+∞ +

  + + ⋅⋅⋅+    

.

Câu 6: ( 3 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn 3 4 a b c + + = .

Chứng minh rằng:

3 3 3 1 1 1 3. 3 3 3 a b b c c a + + ≥ + + +

…………………..HẾT……………………

- Thí sinh không sử dụng tài liệu

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ 01 (Đề thi có 01 trang)

Trang 1/5

UBND TỈNH LAI CHÂU SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2016 - 2017

Môn thi: Toán Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 4/2017

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Đáp án Thang

điểm Câu 1 (3 điểm)

+ = + −

⇔ −+ − − + = 2 sin2 2cos2 1 sin 4cos

2sin cos 1 4cos 2 sin 4cos 0

x x x x

x x x x x 0,5

⇔ − + + − = 2 sin (2cos 1) 4cos 4cos 3 0 x x x x 0,5 ⇔ − + − + = sin (2cos 1) (2cos 1)(2cos 3) 0 x x x x 0,5

⇔ − + + = (2cos 1)(sin 2cos 3) 0 x x x 0,5

π π  = ⇔ = ± +  ⇔ + + = 

1 cos 2 2 3 sin 2cos 3 0( )

x x k

x x VN

0,5

π π ⇔ = ± + 2 3 x k 0,5

Câu Đáp án Thang

điểm Câu 2 (3 điểm)

− + − − + − = ⋅ 3 2 1 2 1 1 3 n n n n n n C C C C ĐK:

+ ∈ ≥ 

 3 n n

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

− − + ⇔ − = ⋅ − − − +

1 ! 1 ! 3 ! ! 3 !3! 3 !2! 2 !1! 2 !1!

n n n n n n n n

0,5

( )( ) ( )( ) ( )( ) ⇔ − − − − − = − + 2 1 3 2 1 6 1 3 n n n n n n n 0,5 ( ) ( )

= − ⇔ − − = ⇔= 

2 1 11 12 0 12

n L n n n TM

0,5

Với ( ) ( ) − −

= =

−     = ⇒ − = = −         ∑ ∑

12 12 12 12 3 4 3 4 51 5 12 12 1 1

4 4 12 4

k k k k k k

k k n x x x C x C x x x 0,5

Theo bải ra ta có: − = ⇔ = 51 5 11 8 k k 0,5 Vậy hệ số cần tìm là: ( ) 8 8 12 4 C 0,5

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI SỐ 1 (Gồm có 05 trang)

Trang 2/5

Câu Đáp án Thang

điểm Câu 3 (4 điểm)

a) Gọi H là trung điểm của AD

Ta có: ( ) ( ) ( )  ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  (*) SAD ABCD SH ABCD SH AD

Gọi = ∩ I AN BH Ta có ABNH là hình chữ nhật nên I là trung điểm của BH

( ) ⇒ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ / / (1) MI SH MI ABCD MI BP

1,0

Mặt khác     + = + = 0 90 PBC BNA BAN BNA ⇒ ⊥ BP AN (2) 0,5 Từ (1), (2) và ( ) ( ) ⊂ ⇒ ⊥ , AN MI AMN BP AMN 0,5 b) Kẻ ⊥ ∈ , AK SD K SD

Ta có ( ) ( ) ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥ 

DC AD DC SAD DC AK AK SDC DC SH

Vì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒ = = =  ⊂ 

/ / , , , AB SDC d AB SC d AB SDC d A SDC AK SC SDC

1,0

Ta có ( ) ( )   = = 0 , 30 SB ABCD SBH

   ⇒ = = + = + =    

2 2 2 0 2 1 15 .tan .tan30 . 2 6 3 a a SH BH SBH AB AH a

    ⇒ = + = + =          

2 2 2 2 15 6 6 2 3 a a a SD SH HD

0,5

Ta có = ⇒ = = =

15 . . 10 6 . . 4 6 3

a a SH AD a SH AD AK SD AK SD a

Vậy ( ) = 10 , 4 a d AB SC

0,5