Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 11 môn Toán năm học 2016 2017 sở GD và ĐT Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2016-2017

ĐỀ THI MÔN: TOÁN 11 - THPT CHUYÊN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề.

Câu 1 (3,0 điểm). Cho dãy số thực   nx được xác định bởi

0 1 1 1; 20 7 x x   và 1

2

1 ( 1)

n

n nx nx n x     với mọi 1. n 

Với mỗi số nguyên dương ,n đặt n n y nx  và

1 1

.

n

k n

k k

x z x   

a. Chứng minh rằng   ny là dãy số giảm.

b. Tìm giới hạn của dãy  . nz

Câu 2 (2,0 điểm). Cho ba số thực , , 2 a b c  thỏa mãn điều kiện 1 1 1 8. a b c a b c     

Chứng minh rằng

  9 3 . a b c ab bc ca      

Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm cạnh AC và M là trung điểm cạnh BC. Đoạn thẳng AM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại điểm E. Đường thẳng BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE tại điểm F khác B. Đường thẳng AF cắt đường thẳng BE tại I, đường thẳng CI cắt đường thẳng BD tại K.

a. Chứng minh rằng . DA DF 

b. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABK.

Câu 4 (1,0 điểm). Một số nguyên dương a được gọi là số k- phương  , 2 k k    nếu tồn tại

số nguyên dương b sao cho k a b  . Cho cấp số cộng   0 n n a  với các số hạng là số nguyên

dương và có công sai bằng 2017. Biết rằng có hai số hạng m a và na của cấp số cộng tương ứng

là số i- phương và số j- phương, trong đó   , 1. i j  Chứng minh rằng tồn tại một số hạng của

cấp số cộng là số ij- phương.

Câu 5 (1,0 điểm). Cho S là một số nguyên dương sao cho S chia hết cho tất cả các số nguyên dương từ 1 đến 2017. Xét k số nguyên dương 1 2 , ,..., k a a a (không nhất thiết phân biệt) thuộc tập

hợp   1,2,...,2017 thỏa mãn 1 2 ... 2 . k a a a S     Chứng minh rằng ta có thể chọn ra từ các số

1 2 , ,..., k a a a một vài số sao cho tổng của chúng bằng .S

-------Hết------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:…………………….………..…….…….….….; Số báo danh:……………………….

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2016-2017

ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN 11- THPT CHUYÊN

I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN:

Câu Nội dung trình bày Điểm 1 a (2,0 điểm) Ta thấy ngay 0, 0. nx n   0,5

Ta có

2

1 1

( 1) ( 1) 0, 1. 1 ( 1) 1 ( 1)

n n n n n n n

n n

n n x nx y y nx n x nx n n x n x  

              1,0

Suy ra dãy   ny giảm. 0,5

b (1,0 điểm)

Dãy   ny giảm và 0, ny n   nên   ny hội tụ. Đặt lim 0. n n y a   

Ta có   1 0 lim lim lim . 1 1 ( 1) 1 1 ( )

n n n n n n n n

n

nx nx y y n n x

a

a nx n

             

Do đó 0. a  0,25

Từ giả thiết suy ra 2 1 1 1 1 ( 1) ( 1) . n n n n n n n n

x x n x x nx nx n x x

           0,25

Do đó 1 1

1 1 2 1 0 1 0

4034 , 1.

n n k k n n k k k k

n x x x x y z x n x x x x nx

                0,25

Vậy 4034. lim n n z   0,25

2 (2,0 điểm)

Đặt x a b c  . Ta có 1 1 1 9 9 8 8 . a b c x a b c a b c x        0,5

2 8 9 0 9. x x x      Vậy bất đẳng thức thứ nhất được chứng minh. 0,5

Ta có 2 2 2 2 2 2 2 16 19 2 (1) a b c x x a b c a b c            

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwazt ta được:

         

  2 2

2 2 2 2 2 2 6 2 2 2 (2) 2 2 2 2

a b c x a b c a b c a a b b c c a b c x

                        

0,25

Từ (1) và (2) suy ra     2 2

2 2 2 2 2 2 6 6 19 2 2 (3). 2 19 2 x x x a b c x a b c x x              0,25

BĐT thứ hai tương đương với     2 2 2 2 27 54 ab bc ca a b c a b c         

2 2 2 2 54. a b c x     

0,25

(Đáp án có 04 trang)