Đề thi chọn HSG lớp 11 môn Toán cấp tỉnh năm học 2017 2018 sở GD và ĐT Thanh Hóa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2017-2018

Môn thi: TOÁN - Lớp 11 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 09 tháng 3 năm 2018 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu) Câu I (4,0 điểm).

1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị ( ) P của hàm số 2 1 y x bx = + + biết rằng ( ) P đi qua điểm ( ) 2;1 . A

2. Giải bất phương trình 2 2 4 5 1 2 1 3. x x x x x + + + + + ≥ + Câu II (4,0 điểm).

1. Giải phương trình

3 4sin 2cos (sin 1) 4sin 1 0. 1 cos4 x x x x x − − − + = +

2. Giải hệ phương trình

( )( )

( ) ( ) 2

2 , . ( 1) 4 0

x xy x y xy y y x y y xy x x x

 + + − − = +  ∈   + + − + − = 



Câu III (4,0 điểm).

1. Cho , , x y z là các số thực phân biệt và không âm. Chứng minh rằng

2 2 2 9 . ( ) ( ) ( ) x y y z z x x y y z z x x y z + + + + + ≥ − − − + +

2. Cho dãy số ( ) nu xác định như sau

1 2

2 1

2, 5 . 5 6 , 1 n n n

u u

u u u n + +

= =   = − ∀≥ 

Tính giới hạn lim . 3

n n u      

Câu IV (4,0 điểm).

1. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh của lớp 11A, 3 học sinh của lớp 11B và 5 học sinh của lớp 11C thành một hàng ngang. Tính xác suất để không có học sinh của cùng một lớp đứng cạnh nhau.

2. Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại .A Các điểm , M N lần lượt thuộc các cạnh , AB AC sao cho AM AN = ( , M N không trùng với các đỉnh của tam giác).

Đường thẳng 1d đi qua A và vuông góc với BN cắt cạnh BC tại 6 2 ; 5 3 H   −    

, đường thẳng 2 d

đi qua M và vuông góc với BN cắt cạnh BC tại 2 2 ; 5 3 K      

. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác

, ABC biết rằng đỉnh A thuộc đường thẳng ( ) :5 3 13 0 x y ∆ + + = và có hoành độ dương. Câu V (4,0 điểm).

1. Cho tứ diện SABC có 1 SA SB SC = = = . Một mặt phẳng ( ) α thay đổi luôn đi qua trọng tâm G của tứ diện và cắt các cạnh , , SA SB SC lần lượt tại các điểm ', ', ' A B C . Chứng minh

rằng biểu thức 1 1 1 ' ' ' T SA SB SC = + + có giá trị không đổi.

2. Cho hình chóp tứ giác .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một điểm M di động trên cạnh đáy BC ( M khác , B C ). Mặt phẳng ( ) α đi qua M đồng thời song song với hai đường thẳng SB và . AC Xác định thiết diện của hình chóp .S ABCD cắt bởi ( ) α và tìm vị trí của điểm M để thiết diện đó có diện tích lớn nhất.

------------- HẾT --------------

Số báo danh ......................................

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

ĐỀCHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2017-2018

Môn thi: TOÁN- Lớp 11 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 09 tháng 3 năm 2018

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

(Gồm có 07 trang)

Câu NỘI DUNG Điểm I 4,0 điểm

1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị ( ) P của hàm số 2 1 y x bx = + + biết rằng ( ) P đi

qua điểm ( ) 2;1 . A 2,0

Do ( ) P đi qua điểm ( ) 2;1 A nên 4 2 1 1 2 b b + + = ⇔ = − 0,50

Ta được hàm số 2 2 1 y x x = − + Bảng biến thiên như sau :

x −∞ 1 +∞

2 2 1 y x x = − +

+∞+∞ 0

0,75

Đồ thị: Có đỉnh ( ) 1;0 I và trục đối xứng là đường thẳng 1 x = và có hình dạng như sau:

12

10

8

6

4

2

2

4

15 10 5 5 10 15

0,75

2. Giải bất phương trình 2 2 4 5 1 2 1 3 (1). x x x x x + + + + + ≥ + 2,0

Điều kiện xác định của bất phương trình là

2

2

1 4 5 1 0 1 1 0 4

x x x

x x x

≤−   + + ≥   ⇔  ≥− + + ≥  

0,50

Ta có ( ) 2 (1) ( 1)(4 1) ( 1) 2 1 1 0 x x x x x ⇔ + + − + + + + − ≥ (2) 0,50

Xét 1, x ≤−khi đó:

2 2

2 ( 1) 0, 1 1 0 1

x x x x x x x

+ − + ≥ + + −= ≥ + +

nên (2) luôn đúng.

Vậy 1 x ≤− là nghiệm của BPT đã cho.

0,25

Xét 1 4 x ≥− : BPT (2) ( )

2

2 2( ) 1 4 1 1 0 (3) 1 1

x x x x x x x

+ ⇔ + + − + + ≥ + + +

2 3 1 2 ( 1) 0 0 1 4 1 1 1

x x x x x x x x x

+ + ⇔ + ≥ ⇔ ≥ + + + + + +

0,50

Vậy tập nghiệm của BPT là ( ] [ ) ; 1 0; S = −∞− ∪ +∞ 0,25