Đề thi chọn HSG tỉnh lớp 11 môn Toán THPT năm 2017 2018 sở GD và ĐT Nghệ An (Bảng A)

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11 CẤP THPT

NĂM HỌC 2017 – 2018

Môn thi: TOÁN HỌC - BẢNG A Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (7,0 điểm).

a) Giải phương trình

2 3 2sin 3cos3 2 4 1 1 2sin

x x

x

π   − +     = −

b) Giải hệ phương trình ( )

( )

( )

2 2

3 2 1 2 , 3 5 12 12 3

x y xy x y x y x y x y x

 + + = − +  ∈  + + − = − −  

Câu 2 (2,0 điểm).

Một hộp chứa 17 quả cầu đánh số từ 1 đến 17. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Tính xác suất sao cho tổng các số ghi trên 3 quả cầu đó là một số chẵn.

Câu 3 (5,0 điểm).

Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình thoi cạnh a, SA SB SC a = = = . Đặt SD x =

( ) 0 3 x a < < .

a) Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD), biết rằng x a = .

b) Tìm x theo a để tích . AC SD đạt giá trị lớn nhất.

Câu 4 (2,0 điểm).

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD. Hình chiếu

vuông góc của điểm D lên các đường thẳng AB, BC lần lượt là ( ) ( ) 2;2 , 2; 2 M N − − ;

đường thẳng BD có phương trình 3 5 1 0 x y − + = . Tìm tọa độ điểm A.

Câu 5 (4,0 điểm).

a) Cho dãy số ( ) n u , biết ( ) 2 2

1 1 1 6, n n n u n u n u u n + − − + = = , với 1 n ≥

Tính giới hạn

1 2

1 1 1 lim

n u u u   + + +     

b) Cho ba số thực , , a b c thuộc đoạn [ ] 0;2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

( )( ) 2 2 2 2 2 P a c c b b c c a a b a b c = + − − − + + .

…………….Hết…………….

Họ và tên thí sinh…………………………………… Số báo danh……………………

Đề chính thức

1

Câu Đáp án Điểm 1. (7,0đ)

a) (4,0 điểm) Giải phương trình

2 3 2sin 3cos3 2 4 1 1 2sin

x x

x

π   − +     = −

(1)

Điều kiện:

2 1 6 sin 5 2 2 6

x k x x k

π π

π π

≠ +  ≠ ⇔ ≠ + 

0,5

(1) 1 cos 3 3cos3 1 2sin 2 x x x π   ⇔− − + = −    

1,0

sin3 3cos3 2sin x x x ⇔ − = sin 3 sin 3 x x π   ⇔ − =    

1,0

3 2 3

3 2 3

x x k

x x k

π π

π π π

 − = +  ⇔  − = − + 

6

3 2

x k

k x

π π

π π

= +  ⇔ = + 

. 1,0

Đối chiếu với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm là

7 2 , 2 , . 6 6 3 x k x k x k π π π π π π = + = − + = + 0,5

b) (3,0 điểm) Giải hệ phương trình

( )

( )

( )

2 2

3 2 1 2 (1) , . 3 5 12 12 3 (2)

x y xy x y x y x y x y x

 + + = − +  ∈  + + − = − −  

( ) ( ) 2 1 1 0 x y ⇔ − + = 1,0 1 0 1 x y y x ⇔ − + = ⇔ = + Thay 1 y x = + vào phương trình (2) ta được phương trình

( ) 3 2 3 11 9 11 3 x x x x x + + − = − −

0,5

( ) ( ) ( ) ( )

3 3 1 5 1 3 1 5 3 1 x x x x ⇔ + + + = − + + − + (3)

Đặt 1; 3 1 a x b x = + = − + , phương trình (3) trở thành

3 3 5 5 a a b b ⇔ + = +

( )

2 2 3 5 0 2 4 b b a b a a b     ⇔ − + + + = ⇔ =          

Do đó (3) 1 3 1 3 x x x x ⇔ + = − + ⇔ − =

1,0

2

0 1 13 2 3 0

x x x x

≥  −+ ⇔ ⇔ =  + − = 

. 0,5

2

Vậy hệ đã cho có nghiệm ( ; ) x y với

1 13 2 . 1 13 2

x

y

 −+ =  +  = 

2. (2,0đ)

Một hộp chứa 17 quả cầu đánh số từ 1 đến 17. Lấy ngẫu nhiên đồng thời ba quả cầu. Tính xác suất sao cho tổng các số ghi trên ba quả cầu đó là một số chẵn. Số phần tử không gian mẫu ( ) 3 17 n C Ω= 0,5

Gọi A là biến cố: Lấy được đồng thời ba quả cầu sao cho tổng các số ghi trên ba quả cầu đó là một số chẵn. Xét các khả năng xảy ra KN 1: Lấy được ba quả cầu có các số ghi trên ba quả cầu đó đều là số chẵn. Số cách chọn là 3 8. C

0,5

KN 2: Lấy được hai quả cầu có các số ghi trên hai quả cầu đó đều là số lẻ và một quả cầu có số ghi trên quả cầu là số chẵn. Số cách chọn là 2 1 9 8 . C C . 0,5

Vậy: ( )

3 2 1 8 9 8 3 17

. 43. 85 C C C P A C + = = 0,5

3. (5,0đ)

Cho hình chóp , SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, . SA SB SC a = = = Đặt ( ) 0 3 . x SD x a = < <

a) Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ), ABCD biết rằng . x a =

b) Tìm x theo a để tích . AC SD đạt giá trị lớn nhất. a) (3,0 điểm)

D

C B

O

A

S

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD .

Khi , x a = ta có ( ) SO AC SO ABCD SO BD ⊥  ⇒ ⊥  ⊥ 

.

1,0

Suy ra góc giữa thẳng SB và mặt phẳng ( ) ABCD là góc  SBO .

Mà SOB SOC OB OC ∆ = ∆ ⇒ = .

1,0

⇒ Đáy ABCD là hình vuông.

Do đó   0 2 2 45 . 2 2 a OB cosSBO …