Đề thi chọn HSG tỉnh lớp 11 môn Toán năm học 2017 2018 sở GD và ĐT Hà Tĩnh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Đề thi có 01 trang, gồm 5 câu)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10,11 THPT NĂM HỌC 2017-2018 Môn thi: TOÁN LỚP 11 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. (5 điểm)

a) Giải phương trình 3 sin cos 3tan2 2cos2 2 cos2 sin cos x x x x x x x      .

b) Tính giới hạn   2 5

0 2017 1 5 2017 L lim x x x

x      .

Câu 2. (5 điểm)

a) Năm 2018 là năm kỷ niệm 50 năm Chiến thắng Đồng Lộc (24/7/1968-24/7/2018), trường học X cho học sinh trong các đội tuyển học sinh giỏi Toán khối 10, khối 11 của trường về tham quan khu di tích Ngã ba Đồng lộc. Biết rằng đội tuyển Toán khối 10 có 4 em gồm 2 nam, 2 nữ; đội tuyển Toán khối 11 có 4 em gồm 3 nam, 1 nữ. Trong đợt tham quan thứ nhất, trường chọn 3 học sinh với yêu cầu có cả đội tuyển 10, cả đội tuyển 11; có cả nam và cả nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

b) Cho n là số tự nhiên thỏa mãn 0 2 2 2016 2016 1 2017 2017 2017 3 .... 3 2 (2 1) n n C C C       . Tìm hệ

số của số hạng chứa 2016 x trong khai triển 2 ( 2) ( 4) n x x x    . Câu 3. (5 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a , H là trung điểm của AB, ( ) SH ABC  , SH x  . Gọi M là hình chiếu vuông góc của H lên đường thẳng AC và N

là điểm thỏa mãn MH HN    .

a) Khi 3 2 a x  , chứng minh đường thẳng SN vuông góc với mặt phẳng (SAC).

b) Tìm x theo a để góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) bằng 450. Câu 4. (2,5 điểm) Cho 1 a  và dãy số ( ) nx xác định như sau:

1x a  ; 2 1 . 3 2018 n n n x a x x    với 1,2,... n 

Tìm a để 1 lim 2018 n

n

x x

 .

Câu 5. (2,5 điểm) Cho các số thực , , x y z thỏa mãn 4 4 4 2 2 2 2 1 x y z x y z    . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức 2 2 2 2 P x y z xyz     . --------------------------Hết-------------------------- - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ………………………………………………Số báo danh: ………………..

ĐÁP ÁN

Câu 1.

a) ĐK cos2 0 cos2 0 cos sin 0 x x x x        

Khi đó phương trình đã cho trở thành:

   3sin 2 3 sin cos 3sin 2 3 cos sin 2 2cos2 0 2 2cos2 0 cos2 sin cos cos sin cos sin sin cos                x x x x x x x x x x x x x x x x x

      2 2 2

2

3sin 2 3 2 cos sin 2cos 2 0 3sin 2 3 2 1 sin 2 2 1 sin 2 0

1 2sin 2 sin 2 1 0 sin 2 1;sin 2 2

         

     

x x x x x x x

x x x x

+) sin 2 1 cos2 0 x x   không thỏa mãn ĐK

+) 1 sin 2 2 x  (thỏa mãn ĐK)   2 2 6 12 7 2 2 6 12

x k x k k x k x k

   

    

                      



b) I =     5 2 5 5

0 0

2017 1 5 1 2017 1 5 2017 lim lim 1 5 x x

x x x x x x x  

               

Ta có: 5

0 lim 1 5 0 x x x   

 

         

5

0 0 4 3 2 5 5 5 5

2017 1 5 1 2017( 5 ) lim lim 1 5 1 5 1 5 1 5 1 x x

x x x x x x x x  

           

         

0 4 3 2 5 5 5 5

5.2017 lim 2017 1 5 1 5 1 5 1 5 1 x x x x x            

Câu 2. (5 điểm) a) Ta xét các trường hợp TH1: 2 học sinh khối 10, 1 học sinh khối 11 KN1: 2 nam khối 10, 1 nữ khối 11 có 2 1 2 1 . 1 C C  cách

KN2: 2 nữ khối 10, 1 nam khối 11 có 2 1 2 3 . 3 C C  cách

KN3: 1 nữ và 1 nam khối 10, 1 học sinh khối 11 có 1 1 1 2 2 4 . . 16 C C C  cách Vậy TH1 có 20 cách chọn TH2: 2 học sinh khối 11, 1 học sinh khối 10 KN1: 2 nam khối 11, 1 nữ khối 10 có 2 1 3 2 . 6 C C  cách

KN2: 1 nữ và 1 nam khối 11, 1 học sinh khối 10 có 1 1 1 3 1 4 . . 12 C C C  cách Vậy TH2 có 18 cách chọn Kết hợp hai trường hợp ta thấy có 38 cách chọn b) Ta có 0 1 2 2 2016 2016 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 3 3 .... 3 3 (1 3) 4 C C C C C         (1)

0 1 2 2 2016 2016 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017 3 3 .... 3 3 (1 3) 2 C C C C C         (2) Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên ta có

    0 2 2 2016 2016 2017 2017 2016 2017 2017 2017 2017 1 3 .... 3 4 2 2 2 1 2 C C C       

Từ giả thiết suy ra 0 2 2 2016 2016 1 2017 2017 …